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MathematikGeometrie…Lagebeziehung von Punkten, Geraden und EbenenLagebeziehung
zweier Geraden Zwei Geraden können in der Ebene, im Raum oder auch höheren Dimensionen auf verschiedene Weise räumlich orientiert zueinander sein. Am einfachsten ist dies wenn man systematisch vorgeht. Zuerst muss man bestimmen, ob die
Richtungsvektoren der beiden Gleichungen linear abhängig oder unabhängig sind. Die Richtungsvektoren sind: Wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind, müssen die beiden Geraden entweder identisch oder echt parallel sein. Dies Überprüft man indem man die Koordinaten eines Punktes (z.B. Ortsvektor) der einen Gerade in die andere Geradengleichung einsetzt.
Ist der Punkt Element der anderen Gerade sind sie identisch, ist er es nicht so sind sie echt parallel. Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, müssen die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder, falls man nicht in der Ebene ist, windschief zueinander sein. Dies bestimmt man indem man die Gleichungen der beiden Geraden gleichsetzt, erhält man eine Lösung gibt es einen Schnittpunkt, wenn nicht sind sie windschief zueinander.
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Orientierung bestimmen (analytischen Geometrie)
linear abhängig
linear unabhängig
Video zur Lagebeziehung von Geraden
Übungsaufgaben
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Die Aufgabe von Fluglotsen ist es, die Sicherheit des Flugverkehrs zu gewährleisten. In Deutschland müssen dazu täglich mehr als 6000 Flugzeuge überwacht und geleitet werden.
Wir wollen an dieser Stelle zu diesem Sachverhalt eine etwas einfachere Aufgabe betrachten:
- Beispiel: Von zwei Flugzeugen sind die aktuelle Position, Kurs und Geschwindigkeit bekannt. Wie können wir prüfen, ob unter Beibehaltung von Kurs und Geschwindigkeit die Gefahr einer Kollision besteht?
Der aktuelle Ort eines Flugzeuges lässt sich durch Koordinaten in einem geeigneten Koordinatensystem, die Momentangeschwindigkeit durch einen entsprechenden Vektor beschreiben. Wir wollen hier auf eine Diskussion möglicherweise geeigneter Koordinatensysteme verzichten und stellen uns auf den Standpunkt, dass die in der Flugsicherung tatsächlich verwendeten Koordinaten letztendlich auch in das uns vertraute orthonormierte xyz-System mit passenden Längeneinheiten und einer der Problemstellung angemessenen Lage der Koordinatenachsen umgerechnet werden können.
In einem derartigen Koordinatensystem wollen wir die aktuellen Positionen der Flugzeuge durch die Punkte P und Q darstellen; p→undq→ seien dann die entsprechenden Ortsvektoren. Betrag und Richtung der Geschwindigkeiten können durch die Vektoren v1→undv2→ aus dem Vektorraum ℝ3 modelliert werden (der Betrag des Vektors v1→ entspreche also einem Vielfachen des Betrages der Geschwindigkeit des ersten Flugzeugs, dessen Flugrichtung werde durch die Richtung v1→ erfasst).
Die beiden Flugzeuge bewegen sich dann auf Geraden mit folgenden Gleichungen:
g:x→=p→+tv1→(t∈ℝ)h:x→=q→+tv2→(t∈ℝ)(∗)
Anmerkung: In der Zeiteinheit t=1 bewegt sich das Flugzeug F1 also um den Vektor v1→ , Entsprechendes gilt für das zweite Flugzeug F2. Darüber hinaus erscheint für unsere Modellierung die Einschränkung t≥0 sinnvoll, die im Weiteren berücksichtigt wird.
- Beispiel: Das erste Flugzeug befinde sich im Punkt P(−14;5;11), seine Geschwindigkeit lasse sich durch den Vektor
(32−2)
beschreiben.
Das zweite Flugzeug befinde sich entsprechend in Q(8;17;33 ) und bewege sich mit
v2→=(−1−2−4 ).
Für die „Bewegungsgeraden“ ergibt sich also:
g:x→=(−145
11)+t(32−2)h:x→=(
81733)+t(−1−2−4)
(t∈ℝ)
Als ersten Lösungsschritt wollen wir überlegen, wie (diese) zwei Geraden g und h zueinander liegen können und wie diese Lagebeziehung durch die die Geraden beschreibenden Ortsvektoren p→u ndq→ sowie die Richtungsvektoren v1→undv2→ bestimmt wird.
Aus der Anschauung ergeben sich die folgenden Lagemöglichkeiten:
- Die beiden Geraden sind identisch.
Dies bedeutet insbesondere, dass der Punkt P auch auf h, der Punkt Q auch auf g liegt und die beiden Richtungsvektoren v1→undv2→ Vielfache voneinander sind. - Die beiden Geraden sind zueinander parallel, aber nicht identisch (man sagt auch, die Geraden g
und h sind echt parallel).
Dafür müssen offenbar die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander sein, der Punkt P darf allerdings nicht auf h liegen. - Die beiden Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam (man sagt auch, die Geraden g und h schneiden einander).
Für diesen Fall dürfen die Richtungsvektoren der beiden Geraden offenbar keine Vielfachen voneinander sein. Außerdem gibt es genau einen Vektor s→, der beide Gleichungen (∗) erfüllt; den Ortsvektor zum Schnittpunkt S der Geraden g und h. - Die beiden Geraden sind weder parallel noch schneiden sie einander (man
sagt auch, die Geraden g und h sind zueinander windschief ).
Anschaulich ist klar, dass die beiden Geraden dann nicht in einer Ebene liegen können. Für diesen Fall dürfen die Richtungsvektoren der beiden Geraden keine Vielfachen voneinander sein und es gibt eben keinen Vektor s→, der beide Gleichungen (∗) erfüllt.
Die folgende Übersicht fasst die notwendige Lageuntersuchung für zwei Geraden im Raum zusammen. Es sei:
g:
x→=p→+rv1→undh:x→=
q→+sv2→(r,s∈ℝ)
Anmerkung: Für den allgemeinen Fall wurde t in (∗) durch zwei verschiedene reelle Parameter ersetzt.
Nach diesem Schema wollen wir die Lagebeziehung der „Bewegungsgeraden“ g und h der beiden Flugzeuge aus dem obigen Beispiel untersuchen.
Dazu beginnen wir mit einem Test auf Parallelität der
Richtungsvektoren:
Gibt es also eine reelle Zahl k mit
(32−2)=k(−1−
2−4)?
Aus der dritten Zeile folgt offenbar k=2. Damit ergeben sich für die ersten beiden Zeilen falsche Aussagen. Die Geraden g und h sind also nicht zueinander parallel.
Durch
Gleichsetzen der Geradengleichungen erhalten wir:
(I)−14+3r=8−s(II
)5+2r=17−2s(III)11−2r=33−4s¯(
I')s+3r=22(II')5+2r=6(III')4s
−2r=22
Die Gleichungen (I')und(II')
führen auf r=8unds=−2.
Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Gleichung (
III').
Die Geraden g und h sind also zueinander windschief.
Anmerkung: Zu untersuchen wäre allerdings noch, ob eine Kollision der beiden Flugzeuge damit tatsächlich ausgeschlossen ist?