- Nullstellen einer Parabel
- Nullstellen berechnen
- Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen
- Schnittpunkte zweier Graphen
- Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln
Nullstellen einer Parabel
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die die Funktion den Wert null annimmt. An einer Nullstelle x0gilt also fx0=0.
An einer Nullstelle schneidet bzw. berührt der Graph von f die x-Achse. Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt von der Lage der zugehörigen Parabel ab.
Funktion f mit fx=x2-2
Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse.
Sie schneidet die x-Achse zweimal und somit hat die Funktion f zwei Nullstellen.
Funktion f mit fx=x2+2
Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse.
Sie schneidet die x-Achse in keinem Punkt und somit hat die Funktion f keine Nullstelle.
Funktion f mit fx= -x-22
Die zugehörige Parabel ist nach unten geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.
Sie berührt die x-Achse in einem Punkt und somit hat die Funktion f genau eine Nullstelle.
Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzt du den Funktionsterm gleich null und löst die Gleichung.
Funktion f mit fx =x2+5x
Funktion f mit fx=x2+3x-4
x2+3x-4=0
Lösen mit pq-Formel:
x1=1und x2=-4
Funktion f mit fx= 2x2+8x-10
2x2+8x-10=0
Lösen mit abc-Formel:
x1=-5und x2=1
Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen
Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion f entspricht der Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung fx=0. Daher kannst du die Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante der quadratischen Gleichung bestimmen.
x2+5x-1=0
D=294>0.
Die Gleichung hat zwei Lösungen.
Die Funktion f mit fx=x2+5x-1hat also zwei Nullstellen.
x2+2x+5=0
D=-4<0.
Die Gleichung hat keine Lösung.
Die Funktion f mit fx=x2+2x+5hat also keine Nullstellen.
Schnittpunkte zweier Graphen
Um die Schnittpunkte der Graphen zweier Funktionen f und g zu bestimmen, setzt du die Funktionsterme gleich und löst die entstandene Gleichung nach x auf.
Die Schnittpunkte haben die Koordinaten Px0|fx0 =Px0|gx0.
Funktionen f und g mit fx=x2-4 x+1und gx=x+1
Einsetzen der Werte in eine der beiden Funktionen
gx1=1und gx2=5+1=6
ergibt die Schnittpunkte P10| 1und P15|6.
Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln
Oft kannst du schon anhand der Lage zweier Parabeln im Koordinatensystem entscheiden, ob sie sich schneiden.
Am einfachsten kannst du die Lage einer Parabel im Koordinatensystem erkennen, wenn die Parabelgleichung in Scheitelpunktform gegeben ist.
Parabel 1:
y=3x-42+1
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Ihr Scheitelpunkt S4|1liegt im ersten Quadranten.
Parabel 2:
y=-2x-12-2
Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Ihr Scheitelpunkt S1|-2liegt im vierten Quadranten.
Die beiden Parabeln schneiden sich nicht.
Parabel 1:
y=x-22-1
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Ihr Scheitelpunkt S2|-1liegt im vierten Quadranten.
Parabel 2:
y=- x-22+3
Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Ihr Scheitelpunkt S2|3liegt im ersten Quadranten.
Die beiden Parabeln schneiden sich zweimal.