Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Differenzengleichungen
Erzeugende Funktionen
Graphentheorie
Inklusion-Exklusion
Kombinatorische Optimierung
Rekursives Zählen
Tags: Binomialkoeffizient, Differenzengleichung, Erzeugende Funktionen, Graphentheorie, Inklusion-Exklusion, Kombinatorische Optimierung, Rekursives Zählen
Liebe Community, mich quält eine Frage der Kombinatorik: "Wie viele vierstellige Zahlen enthalten nicht die Ziffer 3?" Ich habe das mal mit einem Algorithmus in Programmiersprache probiert, allerdings komme ich in keinster Weise manuell auf das Ergebnis. Gibt es hierfür eine Formel oder muss man das würklich Stück für Stück von Hand machen (Zahlen mit 3 zählen usw.)? Vielen Dank schonmal, Kanne Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
Hallo ! Du hast doch für jede Stelle 9 Ziffern zur Verfügung. 0000-9999 (Jeweils ohne 3) Das sind 94 Ziffern-Variationen Eine 4-Stellige ZAHL darf aber nicht mit 0 beginnen. 0123 ist eine 3-stellige Zahl, 0023 eine 2-stellige. Also muß für Ziffer 1 auch noch zusätlich die 0 ausgeschlossen werden. Damit ergeben sich 8⋅93 mögliche 4-Stellige Zahlen ohne 3er lg |
Alles Klar, wir habens jetzt nochmal durchgemacht und ich muss sagen, mit frischem Kopf sieht des alles gleich weng
besser aus ;D LG ;-) |
Ein alternativer Zugang: die Wahrscheinlichkeit, dass die 1. Ziffer nicht die 3 ist, ist 89 die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. und 3. und 4. Ziffer nicht die 3 ist, ist (910)3 Also gibt es 89⋅(910)3⋅9000=8⋅93 |
Es gibt 165 vierstellige Zahlen mit dieser besonderen Eigenschaft.
Erklärung
Für die letzte Ziffer der Zahl kommen die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in Frage. Die Null kann als Summenwert ausgeschlossen werden, denn die Tausender Ziffer darf nicht null sein.
Für den Summenwert 1 gibt es genau eine Zahl, die die Bedingung erfüllt: 1001.
Für den Summenwert 2 gibt es genau drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 1102; 1012; 2002.
Für den Summenwert 3 gibt es
genau sechs Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 1113; 1023; 1203; 2103; 2013; 3003.
Für den Summenwert 4 gibt es genau zehn Zahlen, die die Bedingung erfüllen: 1124; 1214; 1304; 1034; 2114; 2204; 2024; 3104; 3014; 4004
Jetzt fehlen noch die Zahlen mit den Summenwerten 5, 6, 7, 8 und 9. Natürlich lassen sich alle Werte einzeln bestimmen und aufschreiben. Eine Formel für die einzelnen Summenwerte erleichtert die Lösung:
S(x) = 0,5x2 + 0,5x
Setzt man für x beispielsweise den Summenwert 4 ein, erhält die Anzahl der möglichen vierstelligen Zahlen mit dem Summenwert 4, nämlich 10.
Die Gesamtzahl aller möglichen vierstelligen Zahlen mit dieser Eigenschaft erhält man, wenn für die Zahl 9 in die folgende Formel eingesetzt wird:
G = (1/6)x3 + (1/2)x2 + (1/3)x