Ein Dreieck hat 6 Bestimmungsstücke – 3 Seiten und 3 Winkel. Ein Dreieck ist im Allgemeinen durch drei Bestimmungsstücke festgelegt, wenn mindestens eines davon eine Länge ist.
Inhaltsverzeichnis
- Vier Möglichkeiten ein Dreieck zu konstruieren
- Der Seiten-Seiten-Seiten-Satz - SSS
- Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz - SWS
- Der Winkel-Seiten-Winkel-Satz - WSW
- Der Seiten-Seiten-Winkel-Satz - SSW
Vier Möglichkeiten ein Dreieck zu konstruieren
Der Seiten-Seiten-Seiten-Satz (SSS)
Die Längen aller drei Seiten sind gegeben.
Der Seiten-Seiten-Seiten-Satz (SSS)
Die Längen von zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz (SWS)
Die Länge einer Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben.
Der Winkel-Seiten-Winkel-Satz (WSW)
Die Längen von zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind gegeben.
Der Seiten-Seiten-Winkel-Satz (SSW)
Der Seiten-Seiten-Seiten-Satz - SSS
Wenn von einem Dreieck alle 3 Seiten bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: a = 6 cm, b = 4 cm, c = 7
cm
- Wir zeichnen eine der drei Seiten, z.B. c = 7 cm.
- Wir stellen den Zirkel auf a = 6 cm, stechen in B ein und ziehen einen Kreisbogen.
- Wir stellen den Zirkel auf b = 4 cm, stechen in A ein und ziehen einen Kreisbogen.
- Dort wo die Kreisbögen sich schneiden, liegt der Punkt C.
Er ist von B 6 cm und von A 4 cm entfernt. - Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.
Es gibt einen Fall bei dem sich aus 3 Seiten kein Dreieck konstruieren lässt. Weißt du wann?
Merksatz
Seiten-Seiten-Seiten-Satz: Wenn von einem Dreieck alle drei Seiten
gegeben sind,
kann es eindeutig konstruiert werden, sofern die Summe aus je zwei Seitenlängen
größer als die dritte Seitenlänge ist.
Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz - SWS
Wenn von einem Dreieck 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: α = 45°, b = 4 cm, c = 7 cm
- Wir zeichnen eine der zwei Seiten, z.B. c = 7 cm.
- Wir zeichnen beim Punkt A den Winkel α = 45°.
- Wir tragen die Länge von b = 4 cm auf den Winkel auf.
- Am Ende der Seite b liegt der Punkt C.
- Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.
Merksatz
Seiten-Winkel-Seiten-Satz:
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der eingeschlossene
Winkel gegeben sind,
kann es eindeutig konstruiert werden.
Der Winkel-Seiten-Winkel-Satz - WSW
Wenn von einem Dreieck eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: α = 60°, β = 35°, c = 7 cm
- Wir zeichnen die Seite c = 7 cm.
- Wir zeichnen beim Punkt A den Winkel α = 60°.
- Wir zeichnen beim Punkt B den Winkel β = 35°.
- Wo sich die Schenkel der Winkel treffen, liegt der Punkt C.
- Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.
Merksatz
Winkel-Seiten-Winkel-Satz:
Wenn von einem Dreieck eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gegeben sind,
kann es eindeutig konstruiert
werden.
Der Seiten-Seiten-Winkel-Satz - SSW
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: α = 30°, a = 4 cm, c = 3 cm
- Wir beginnen mit der Seite die am Winkel anliegt (c = 3 cm).
- Wir zeichnen beim Punkt A den Winkel α = 30°.
- Wir stellen den Zirkel auf a = 4 cm, stechen in B ein und ziehen einen Kreisbogen.
- Dort, wo sich der Schenkel des Winkels (graue gepunktete Linie) und der Kreisbogen treffen, liegt der Punkt C.
- Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.
Wenn die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite jedoch kürzer als die andere gegebene Seite ist, dann können zwei Fälle eintreten:
Seiten-Seiten-Seiten-Satz Fall 1
Wenn die Seite lang genug ist, kann es zwei mögliche Lösungen geben (C1 oder C2).
Seiten-Winkel-Seiten-Satz Fall 2Wenn die Seite zu kurz ist, dann gibt es keine Lösung.
Merksatz
Seiten-Seiten-Winkel-Satz:
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel
gegeben sind, kann es eindeutig konstruiert werden.