2 schüler mit gleichem geburtstag in klasse mit k schülern

F�r die �berlegungen wird ein normales Jahr mit n = 365 Tagen angenommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei bestimmte Sch�ler nicht am gleichen Tag Geburtstag haben, betr�gt ja 364/365, weil f�r den zweiten Sch�ler nur noch 364 von 365 Tagen als Geburtstag zur Verf�gung stehen. Ein Tag wird ja vom ersten Sch�ler belegt. F�r den dritten Sch�ler bleiben demnach nur noch 363 von 365 Tagen zur Auswahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner von diesen drei Sch�lern am gleichen Tag Geburtstag hat wie die beiden anderen Sch�ler, betr�gt also (364/365) · (363/365). Bei k Sch�ler betr�gt dann die Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben:

(364/365) · (363/365) · (362/365) · ... · ((365 � k + 1)/365) = (n!/(n�k)!) / nk

F�r die gesuchte umgekehrte Bedingung, dass also

W = 1 � (364/365) · (363/365) · (362/365) · ... · ((365 � k + 1)/365) = 1 � (n!/(n�k)!) / nk

Bei k = 22 Sch�lern ist die Wahrscheinlichkeit W dann:

W = 1 � (364/365) · (363/365) · (362/365) · ... · (344/365) = 47,57%

und bei k = 23 Sch�lern:

W = 1 � (364/365) · (363/365) · (362/365) · ... · (343/365) = 50,73%.

Es m�ssen also mindestens 23 Sch�ler in der Klasse sein, damit die Wahrscheinlichkeit f�r das Zusammentreffen von Geburtstagen mehr als 50% betr�gt.

Diese Aussage gilt nat�rlich nur dann, wenn die Geburtstage der Sch�ler zuf�llig �ber das Jahr verteilt sind. Die Berechnung ist zwar exakt, aber zur Bestimmung der Anzahl der Sch�ler etwas umst�ndlich. Aber es gibt eine N�herungsformel, die direkt f�r eine Wahrscheinlichkeit W = 50% bei n Tagen die Anzahl k der Sch�ler berechnet. Soll W gleich 50% oder 0,5 sein, dann gilt ja:

1 � (n!/(n�k)!) / nk = 0,5 oder (n!/(n�k)!) / nk = 0,5

Wenn n gro� ist und k im Vergleich dazu klein, gilt in guter N�herung:

(n!/(n�k)!) / nk = (n � k/2)k / nk = (1 � k/(2·n))k = 0,5

Weil 1 / (1 + x) f�r x << 1 ungef�hr gleich 1 � x ist, f�hrt die zweite N�herung zu:

(1 � k/(2·n))k = 1 / (1 + k/(2·n))k = 1 / (1 + 1/(2·n/k))k = 1 / ((1 + 1/(2·n/k))2·n/k)k·k/(2·n) = 0,5

Weil (1 + 1/x)x f�r gro�e x ungef�hr gleich e ist, ergibt die dritte und letzte N�herung schlie�lich:

1 / ((1 + 1/(2·n/k))2·n/k)k·k/(2·n) = 1 / ek·k/(2·n) = 0,5

Daraus folgt:

ek·k/(2·n) = 2

k2 / (2·n) = ln(2)

k = √(2 · ln(2)) · √n = 1,17741 · √n

Schon f�r dieses R�tsel (n = 365) liefert die N�herungsformel das richtige Ergebnis: k = 22,49

Da die Anzahl der Sch�ler ganzzahlig sein muss und die Wahrscheinlichkeit W gerade eben oberhalb von 50% liegen soll, kommt man hier also auch auf 23 Sch�ler.

Was ist verbl�ffend an diesem Mathematik-R�tsel? Da der mittlere Abstand zwischen zwei Geburtstagen mehr als zwei Wochen betr�gt, glauben viele intuitiv, dass die Wahrscheinlichkeit f�r zwei Geburtstage am gleichen Tag nur sehr gering sein k�nne. Die menschliche Intuition h�lt das Aufeinanderfolgen von zuf�lligen Ereignissen f�r wesentlich gleichm��iger als es tats�chlich der Fall ist.

Weitere interessante Geburtstagsprobleme findet man auf der Web-Seite mit den Stochastik-Formeln (Beispiele 13 und 23). Hier geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass

In gleicher Weise wie oben kann man die Frage beantworten, nach wie vielen Ziehungen bei Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal gr��er als 50% ist, dass mindestens zweimal die gleichen 6 Zahlen gezogen worden sind.

n ist hier nicht die Anzahl der Tage, sondern die Anzahl der verschiedenen M�glichkeiten, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen.
Da es n = 13 983 816 M�glichkeiten gibt, ist die Anzahl der ben�tigten Lottoziehungen k nach der N�herungsformel:

k = √(2 · ln(2)) · √13.983.816 = 4402,92

Nach dieser Formel w�rde man auf 4403 ben�tigte Lottoziehungen schlie�en. Dieses Ergebnis ist nur um 1 zu klein. Man ben�tigt n�mlich 4404 Ziehungen und die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter diesen Lottoziehungen mindestens zwei mit den gleichen 6 Zahlen befinden, betr�gt 50,0128%.

Tats�chlich wurden seit 1955 in Deutschland bei Lotto 6 aus 49 schon zweimal die gleichen 6 Zahlen gezogen. Sowohl am 20.12.1986 als auch am 21.06.1995 waren es die Zahlen 15, 25, 27, 30, 42, 48. Bis zur zweiten Ziehung einschlie�lich hatte es 3016 Lottoziehungen gegeben und die Wahrscheinlichkeit f�r mindestens zwei gleiche Ziehungen betrug zu diesem Zeitpunkt 27,76%.

Zum Schluss kann man sich sogar fragen, nach wie vielen Ziehungen die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal gr��er als 50% ist, dass mindestens zweimal

(1 � 1/13.983.816)k = 50% = 0,5 oder k � ln(1 � 1/13.983.816) = ln(0,5)

F�r k ergibt sich dann: k = ln(0,5) / ln(1 � 1/13.983.816) = 9.692.842

In sehr guter N�herung gilt: k = �13.983.816 � ln(0,5) = 13.983.816 � ln(2) = 9.692.843

Erst nach etwa 9,7 Millionen Ziehungen (entspricht etwa 93.000 Jahren) steigt die Wahrscheinlichkeit �ber 50%, dass es mindestens zwei direkt aufeinander folgende Ziehungen mit den gleichen 6 Zahlen gegeben hat. Dieser Fall ist in Deutschland noch nicht aufgetreten.

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Wie wahrscheinlich ist es das 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?

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