Kapitel 9Grundlagen der QuantenmechanikIn den vorangegangenen Kapiteln haben wir uns mit physikalischen Situationen und experimentellen Ergebnissen auseinandergesetzt, bei denen die klassische Physik nicht mehr ausreicht, um die beobachteten Phänomene befriedigend zu erklären. Diese Problematik motivierte die Einführung der Quantenmechanik. In Kapitel 8 haben wir z.B. erkannt, dass das Bohrsche Atommodell grundlegende Eigenschaften der Spektren von Atomen mit einem Elektron mit Hilfe semiklassischer Annahmen, die auf der Beschreibung der Eigenschaften von Teilchen durch Materiewellen beruhen, erklären kann. Um ein detailliertes physikalisches Verständnis von Atomen in elektromagnetischen Feldern oder Atomen mit mehreren Elektronen zu erlangen, erkannte man am Anfang des letzten Jahrhunderts schnell, dass eine vollständig neue Theorie, die heute als Quantenmechanik bekannt ist, benötigt werden würde. Show
Historisch gesehen wurden die Grundlagen der Quantenmechanik in den Jahren 1925 und 1926 mit Hilfe wichtiger Beiträge bekannter Physiker wie Erwin Schrödinger1, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac und anderer entwickelt. Das grundlegende Ziel war eine Theorie zu entwickeln, die die Welleneigenschaften von Teilchen korrekt beschreibt. Schon bis in die 1930er Jahre, kurz nach ihrer Entwicklung, konnten eine grosse Anzahl von Beobachtungen und Experimenten in der Physik und auch der Chemie durch diese neue Theorie erklärt werden. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit den wichtigen Aspekten des Formalismus der Quantenmechanik. Die Theorie basiert auf einigen wenigen grundlegenden Postulaten, mit deren Hilfe alle Beobachtungen von quantenmechanischen Phänomenen in der Natur korrekt beschrieben werden können. Bis heute hat noch kein Experiment den Vorhersagen der Quantenmechanik widersprochen. Hier führen wir in die Grundlagen der Quantenmechanik basierend auf der Wellenmechanik von de Broglie ein (siehe Kapitel 6). Wir werden uns dabei zunächst auf die quantenmechanischen Eigenschaften der Dynamik einzelner Teilchen (Massepunkte) in einer Dimension, beschrieben durch die Ortskoordinate  9.1 Das erste Postulat: WellenfunktionenZur Formulierung des ersten Postulats der Quantenmechanik benötigen wir die folgende Definition: Definition 9.1 Eine Funktion wobei Postulat 1 Zu einem Teilchen (Massepunkt) gehört eine eindeutige, quadratisch integrable, im Allgemeinen komplexe Wellenfunktion Wir diskutieren zunächst einige wichtige Aspekte dieses Postulats. Da die Wellenfunktion quadratisch integrabel ist, kann sie normiert werden. Dazu ziehen wir die Bedingung heran, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit Weiter gilt nach dem Postulat 1, dass der Zustand des Teilchens durch die Wellenfunktion 9.1.1 Beispiel: Teilchen im PotentialtopfZur Veranschaulichung des ersten Postulats betrachten wir ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf (siehe Abb. 9.1). Abb. 9.1: Das Potential D.h. die Bewegung des Teilchens entlang der x-Richtung ist durch harte Wände an den Positionen Wir betrachten das Teilchen nun als Materiewelle. Im Bereich Klassisch gesehen besteht für ein freies Teilchen zwischen der Energie D.h. bei konstanter Energie Nun berücksichtigen wir, dass die freie Bewegung des Teilchens auf den Bereich Aus Aus Hier erkennen wir, dass die Beschreibung eines Teilchens in einem Potentialtopf als Materiewelle auf natürliche Art und Weise zu einer diskreten Abfolge von möglichen Energiewerten des Teilchens, also zu einer Quantisierung, führt. Die Wellenfunktion Zur Bestimmung der Konstanten Daraus ergibt sich Abb. 9.2: Die Wellenfunktionen
Ein Potentialtopf, wie wir ihn hier besprochen haben, ist ein gutes Modell für die Energieniveaus von Elektronen in sogenannten Quantenpunkten (quantum dots). Die Elektronen in Quantenpunkten sind in ihrer Beweglichkeit in allen drei Raumrichtungen eingeschränkt. Realisiert werden Quantenpunkte in sogenannten Nanostrukturen, welche grösstenteils aus verschiedenen Halbleitermaterialien aufgebaut sind. 9.1.2 Darstellung der Wellenfunktion im ImpulsraumBisher haben wir die Wellenfunktion als eine Funktion der Ortsvariablen Auch für diese Wellenfunktion gilt eine Normierungsbedingung Wir können auch hier für eine Funktion Definition 9.3Der Erwartungswert einer Funktion Hier gelten die selben Einschränkungen wie wir sie bereits für die Wellenfunktionen im Ortsraum diskutiert haben. Beispiele für die Funktion Nun untersuchen wir, welcher Zusammenhang zwischen der Wellenfunktion Dabei ist Mit der de Broglie-Beziehung 9.2 Die Heisenbergsche UnschärferelationIn der klassischen Mechanik sind die Eigenschaften eines Teilchens, wie zum Beispiel sein Ort Im Gegensatz dazu ist eine charakteristische Eigenschaft der Quantenmechanik, dass der Ort Diese Unschärferelation gilt nicht nur für Ort und Impuls eines Teilchens sondern auch für andere Grössen, wie z.B. Energie und Zeit oder die Komponenten des Bahndrehimpulses in drei Dimensionen, wie wir später kennen lernen werden. Bevor wir uns der Einbettung der Unschärferelation in die Wellenmechanik zuwenden, betrachten wir als Illustration die Beugung einer Materiewelle am Spalt. 9.2.1 Beispiel: Beugung einer Materiewelle am SpaltIm betrachteten Versuch (siehe Abb. 9.3) bewegt sich ein Teilchenstrom von links auf einen Spalt der Breite Abb. 9.3: Die Beugung einer Materiewelle am Spalt. Auf die einzelnen Bestandteile und Beschriftungen der Versuchsanordnung wird im Text eingegangen. Der Spalt sei bei Damit kann die in Abb. 9.3 eingezeichnete Grösse Mit der de Broglie-Beziehung Berücksichtigt man die Tatsache, dass einige Teilchen auch in die Nebenmaxima fallen, so wird aus der Gleichung eine Ungleichung Diese Ungleichung besagt, dass die Ortskoordinate In diesem Abschnitt haben wir den Begriff der Unschärfe anhand eines Beispiels eingeführt. Nun wenden wir uns der formalen Berechnung der Unschärferelation eines Teilchens im Rahmen der Wellenmechanik zu. 9.2.2 Definition UnschärfeDefinition 9.4 Entsprechend den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Unschärfe Wir wenden diese Definition 9.4 auf ein Teilchen an, dessen Zustand durch eine reelle Wellenfunktion und somit ein Wellenpaket der charakteristischen Breite Für den Erwartungswert d.h. Um die Eigenschaften der Impulsverteilung des Teilchens zu bestimmen, berechnen wir die Wellenfunktion Die Ausführung der Integration liefert Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichte Der Erwartungswert an, d.h. das Teilchen hat einen verschwindenden mittleren Impuls. Gleichzeitig ergibt sich eine Impulsunschärfe Mit (9.30) erhalten wir daraus für die Unschärferelation eines Gaussschen Wellenpakets Das Gausssche Wellenpaket erfüllt somit gerade die minimale Unschärferelation (siehe Abschnitt 9.2.3). 9.2.3 Formulierung nach HeisenbergNachdem wir zwei Beispiele zur Unschärferelation betrachtet haben, kommen wir zur Formulierung der Unschärferelation nach Heisenberg, wie sie 1927 aufgestellt wurde. Wir schreiben sie hier für die Ortskoordinate Für die allgemeine Formulierung und die Herleitung sei auf Anhang B oder weiterführende Literatur [11] verwiesen. Wir erwähnen hier noch eine weitere Form der Heisenbergschen Unschärferelation, die sogenannte Energie-Zeit-Unschärferelation. Es gilt Die Formulierung (9.38) sagt aus, dass die Energie 9.3 OperatorenOperatoren spielen in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle. Denn jede physikalische Grösse 9.3.1 Erwartungswerte von Ortskoordinate und ImpulsDer Erwartungswert des Impulses in der OrtsraumdarstellungWir beginnen mit einer Diskussion der Frage, wie sich der Erwartungswert des Impulses in der Ortsraumdarstellung berechnen lässt. Wenn wir den Zustand des Teilchens durch die Wellenfunktion Wenn der Zustand des Teilchens aber durch die Wellenfunktion berechnet werden. Hier stellt sich nun die Frage in welchem Zusammenhang der Impuls Wir schreiben das Integral über Der erste Summand verschwindet, da Wir kommen somit zu folgendem Schluss: In der Ortsraumdarstellung, in der der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion ersetzt. Der Erwartungswert der Ortskoordinate in der ImpulsraumdarstellungAnalog können wir nun auch den Erwartungswert der Ortskoordinate Partielle Integration für das Integral über Der erste Summand verschwindet, da auch Wir fassen zusammen: In der Impulsraumdarstellung, in der der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion durch den Ortsoperator ersetzt. In der Ortsraumdarstellung ist der Ortsoperator Tab. 9.1: Berechnungen der Erwartungswerte für die Ortskoordinate Der Erwartungswert von Potenzen der Ortskoordinate und des ImpulsesEntsprechend zu den vorangegangenen Berechnungen in diesem Abschnitt kön-nen auch die Erwartungswerte von Potenzen der Ortskoordinate und entsprechend für den Erwartungswert von Potenzen von 9.3.2 Weitere wichtige Operatoren in OrtsraumdarstellungBei der Betrachtung von weiteren Beispielen von Operatoren beschränken wir uns auf die Ortsraumdarstellung. Der Ortsoperator in 3DWie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, ist der Ortsoperator Der Impulsoperator in 3DBeschreiben wir die Bewegung eines Teilchens im dreidimensionalen Raum in kartesischen Koordinaten, dann ist jeder Impulskomponente ein Operator zugeordnet. Nach (9.44) gilt für die Operatoren Dem Impulsvektor Die Erwartungswerte der Impulskomponenten Der Hamilton-OperatorAus der klassischen Mechanik ist die Hamilton-Funktion Wir betrachten als Beispiel die Bewegung eines Teilchens der Masse Damit lässt sich die kinetische Energie Die entsprechende Hamilton-Funktion Den entsprechenden Hamilton-Operator wobei Der Erwartungswert der Hamilton-Funktion Der BahndrehimpulsoperatorDer (klassische) Bahndrehimpulsvektor wobei Beim Wasserstoffatom bewegt sich das Elektron im Zentralpotential des Kerns (siehe Kapitel 11). Es zeigt sich, dass diese Bewegung eines Teilchens im Zentralpotential einfachheitshalber in Kugelkoordinaten behandelt wird. Aus diesem Grund geben wir hier den Bahndrehimpulsoperator zusätzlich auch in Kugelkoordinaten an. Man erhält für den Bahndrehimpulsoperator Wir beweisen die Richtigkeit dieses Ausdrucks indem wir auf die kartesischen Koordinaten zurückrechnen. Die Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten lautet (siehe Abb. 9.4) Abb. 9.4:
Illustration des Zusammenhangs zwischen den kartesischen Koordinaten
Diese Ausdrücke stimmen mit (9.67) überein, womit die Richtigkeit von (9.68) bewiesen ist. BemerkungDas Plancksche Wirkungsquantum 9.3.3 Eigenschaften von Operatoren in der QuantenmechanikWir haben bisher an diversen Beispielen erörtert, wie eine physikalische Grösse Tab. 9.2: Quantenmechanische Operatoren in der Ortsraumdarstellung zu verschiedenen physikalischen Grössen. Definition 9.5Ein quantenmechanischer Operator Dabei bezeichnet Quantenmechanische Operatoren besitzten folgende Eigenschaften:
Jeder Observablen 9.4 Das zweite Postulat: Die Schrödinger-GleichungIst die Wellenfunktion Die Antwort auf diese Frage lieferte Schrödinger im Jahr 1926: Postulat 2Die Wellenfunktion Diese Gleichung wird nach Schrödinger die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung genannt. Die Dynamik eines quantenmechanischen Systems wird durch die zeitab-hängige Schrödinger-Gleichung bestimmt. Die Schrödinger-Gleichung ist ein weiteres Postulat der Quantenmechanik und kann nicht hergeleitet oder bewiesen werden. Für ein Teilchen der Masse In der Quantenmechanik tritt die Schrödinger-Gleichung an die Stelle der Newtonschen Bewegungsgleichung der klassischen Mechanik. Wir verdeutlichen diesen Zusammenhang hier an einem Beispiel. Ein Teilchen der Masse Die Quantenmechanik erlaubt nur statistische Aussagen in Form von berechneten Erwartungswerten. Demzufolge würde die entsprechende Gleichung in der Quantenmechanik folgende Gestalt annehmen Herleitung: Die Schrödinger-Gleichung und das konjugiert Komplexe der Schrödinger-Glei-chung für unser Beispiel lauten Einsetzen in (9.98) liefert Stationäre LösungenWir betrachten ein Teilchen der Masse Definition 9.11Ein Zustand, der dadurch gekennzeichnet ist, dass die Wahrscheinlichkeit Ein Beispiel dafür ist die bereits mehrfach erwähnte ebene, harmonische Materiewelle Allgemein hat ein stationärer Zustand die Form In drei Dimensionen gilt Wir setzen nun den Ansatz (9.104) in die zeitabhängige Schrödinger-Gleich-ung (9.94) ein, um herauszufinden, unter welchen Bedingungen sie eine Lösung ist Wenn sich das Teilchen in einem zeitunabhängigen Potential Diese Gleichung bestimmt die zeitunabhängige Funktion Ein Teilchen ist also in einem stationären Zustand, wenn seine Bewegung in einem zeitlich konstanten Potential 9.4.1 Eigenschaften der LösungenLösungen der Schrödinger-Gleichung in einer Dimension besitzen folgende Eigenschaften (gelten auch in drei Dimensionen):
AusnahmefälleEs kommt vor, dass idealisierte Beispiele und Grenzfälle einige dieser Eigenschaften nicht erfüllen. Wir geben hier zwei bekannte Beispiele an:
9.4.2 Beispiele von Lösungen der Schrödinger-GleichungWir berechnen nun Lösungen der Schrödinger-Gleichung für einige grundlegende physikalische Probleme. Bewegung im zeitlich und räumlich konstanten PotentialWir betrachten ein nichtrelativistisches Teilchen, das sich längs der x-Achse bewegen kann und dessen potentielle Energie Da das Potential Wir wählen den folgenden Ansatz Einsetzen in (9.113) liefert Daraus ergibt sich Somit nimmt die Funktion Die vollständige Wellenfunktion Mit Nach de Broglie gilt Die Wahrscheinlichkeitsdichte Teilchen im PotentialtopfWir lösen nun das in Abschnitt 9.1.1 besprochene physikalische Problem eines Teilchens in einem Potentialtopf mit der Schrödinger-Gleichung. D.h. wir betrachten ein Teilchen der Masse Da das Potential zeitunabhängig ist, gilt die zeitunabhängige Schrödinger-Glei-chung Für Wir wählen wieder den Ansatz Einsetzen in 9.123 liefert Daraus ergibt sich Somit nimmt die Funktion wobei wobei die (diskreten) Energiewerte Die Wellenfunktionen (9.128) erfüllen nicht alle Bedingungen, die man an eine Lösung der Schrödinger-Gleichung stellt, denn die Ableitung der Wellenfunktion nach Teilchen im endlichen PotentialtopfWir kommen nun vom Spezialfall welches die Gestalt eines symmetrischen Topfes der Tiefe Abb. 9.5: Das Potential Wir betrachten zuerst die klassischen Erwartungen und unterscheiden dabei die Fälle
Wir kommen nun zur quantenmechanischen Behandlung für den Fall dass
Aus den Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktion und deren Ableitung nach In Matrixschreibweise lautet dieses Gleichungssystem Elementare Zeilenumformungen für lineare Gleichungssysteme liefern Nichttriviale Lösungen ergeben sich für det Wir unterscheiden hier zwei Fälle die symmetrischen (
Zum Abschluss formulieren wir einige Schlussfolgerungen und zusammenfassende Bemerkungen:
Abb. 9.8: Numerische Lösung der
Schrö-dinger-Gleichung für die Wellenfunktionen für die Knotenzahlen Der TunneleffektWir betrachten ein Teilchen mit kinetischer Energie Abb. 9.9: Ein Teilchen mit kinetischer Energie Der Tunneleffekt wurde in zahlreichen Experimenten verifiziert, z.B. beim radioaktiven Zerfall oder in elektronischen Tunneldioden. Der Tunneleffekt wird z.B. im Rastertunnelmikroskop (siehe Abschnitt 7.2.3), welches zur Abbildung der Oberfläche verwendet werden kann, auch technisch angewandt. Dessen Funktionsweise beruht darauf, dass es für Elektronen möglich ist die Potentialbarriere zwischen der abtastenden Spitze und der zu untersuchenden Oberfläche einer Probe zu überwinden. Das Ziel der folgenden Rechnung ist es, die sogenannte Transmissionswahrscheinlichkeit, auch Transmissionskoeffizient genannt, eines Teilchens durch eine Potentialbarriere zu bestimmen. Die Definition lautet folgendermassen: Definition 9.12 Die Transmissionswahrscheinlichkeit Der Teilchenfluss d.h. als Produkt von Wahrscheinlichkeitsdichte Wir beginnen unsere Berechnung, indem wir die x-Achse in drei Bereiche I, II und III unterteilen (siehe Abb. 9.9), für die wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (Potential ist zeitunabhängig) separat lösen Die Lösung für die drei Bereiche lassen sich analog zu den vorangegangenen Beispielen mit Hilfe eines Exponentialansatzes bestimmen. Wir verzichten daher auf eine Herleitung und geben direkt die Lösungen für die Wellenfunktionen Es ist zu bemerken, dass im Bereich III aufgrund der betrachteten Situation (Teilchen kommt von links) nur eine rechtslaufende Welle existieren kann und daher wobei In Matrixschreibweise lautet dieses Gleichungssystem Elementare Zeilenumformungen für lineare Gleichungssysteme liefern Wir drücken nun mit (9.189) Schritt für Schritt die Koeffizienten Damit erhalten wir für den Koeffizient Für den Koeffizient Schlussendlich erhalten wir daraus für das Verhältnis Wir vereinfachen diesen Ausdruck, indem wir folgende zwei Annahmen tätigen:
Mit diesen beiden Annahmen (9.194) und (9.195) vereinfacht sich der Ausdruck (9.193) für das Verhältnis Einsetzen in (9.183) liefert für die Transmissionswahrscheinlichkeit Mit den Ausdrücken D.h. die Transmissionswahrscheinlichkeit zeigt eine starke exponentielle Ab-hängigkeit von Teilchenenergie Um nun eine Vorstellung über die Stärke des Tunneleffekts zu erhalten, betrachten wir das folgende Beispiel: Ein Elektron mit kinetischer Energie Das bedeutet, dass selbst für leichte Teilchen und niedrige Barrieren die Transmissionswahrscheinlichkeit Zum Abschluss dieses Abschnitts geben wir das Resultat einer Mathematica Berechnung für die Wellenfunktion (Realteil) und die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte für die Zahlenwerte Abb. 9.10: Mathematica Berechnung der (a) Wellenfunktion
Bewegung eines Wellenpakets durch einen Potentialtopf / PotentialbarriereWie bereits zuvor diskutiert ergibt sich ein Wellenpaket als Superposition von vielen harmonischen Wellen mit verschiedenen Frequenzen Wir betrachten hier die Bewegung eines Gaussschen Wellenpakets durch einen Potentialtopf der Tiefe Abb. 9.11: Computerberechnungen für die Bewegung eines Gaussschen Wellenpakets durch einen Potentialtopf (links) und durch eine Potentialbarriere (rechts) für den Fall
9.5 Eigenwerte und Eigenfunktionen von Operatoren9.5.1 Scharfe und unscharfe Werte von ObservablenWir illustrieren zunächst die Bedeutung von scharfen bzw. unscharfen Observablen anhand von einigen Beispielen und geben anschliessend die genaue mathematische Definition. Bei den Beispielen beziehen wir uns auf die Heisenbergsche Unschärferelation (siehe Abschnitt 9.2). Stationäre ZuständeBei der Bewegung eines Teilchens (Massepunkt) in einem zeitunabhängigen Potential bleibt die Gesamtenergie Zum Beispiel haben wir beim Teilchen im Potentialtopf gesehen (siehe Abschnitte 9.1.1 und 9.4.2), dass die Energie verschiedene scharfe und diskrete Werte Bei genauerer Betrachtung findet man jedoch, dass die Schärfe der Differenz zweier Energien eines quantenmechanischen Systems immer durch die Lebensdauer der mit dem Übergang verknüpften Zustände begrenzt ist. Diese Zustände können, wie wir bereits kennengelernt haben, im Prozess der spontanen Emission, hervorgerufen durch die Wechselwirkung mit den Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes, auf einer durch die Einstein-Koeffizienten bestimmten Zeitskala zerfallen. Teilchen im räumlich und zeitlich konstanten PotentialNach Abschnitt 9.4.2 ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen im räumlich und zeitlich konstanten Potential eine ebene, harmonische Welle Da der Zustand stationär ist, ist die Energie scharf. Im Gegensatz zum Teilchen im Potentialtopf sind die Werte, die sie annehmen kann, jedoch beliebig und nicht diskret. Die Wahrscheinlichkeitsdichte Unscharfe WerteIm Gegensatz zu diesen Beispielen haben wir bei der Beugung am Spalt (siehe Abschnitt 9.2.1) und beim Gaussschen Wellenpaket (siehe Abschnitt 9.2.2) gesehen, dass sowohl der Ort Definition: Der scharfe Wert einer ObservablenDiesen Beispielen folgend geben wir nun eine mathematische Definition an, unter welchen Bedingungen der Erwartungswert Wir werden nun zeigen, dass sich mit Hilfe des Operatorformalismusses eine einfache Bedingung angeben lässt, die erfüllt sein muss, damit der Erwartungswert In der Impulsraumdarstellung gilt ein entsprechender Satz für die Wellenfunktion Beweis des Satzes: Nach Definition 9.13 für den scharfen Wert des Erwartungswerts wobei „ Mit Hilfe der Eigenwertgleichung (9.202) folgt für den Erwartungswert Für den Erwartungswert Somit erhalten wir für die Unschärfe „ Aus Dieses Integral verschwindet nur dann, wenn gilt d.h. wenn folgende Gleichung erfüllt ist
Wir fassen diesen Abschnitt zusammen: Genau dann wenn bei wiederholter Messung der Observablen 9.5.2 Eigenfunktionen und Eigenwerte von ausgewählten OperatorenWir betrachten hier verschiedene Operatoren, die wir in Abschnitt 9.3.2 kennengelernt haben und bestimmen ihre Eigenfunktionen und Eigenwerte. Eigenfunktionen und Eigenwerte des Hamilton-OperatorsWir betrachten ein Teilchen, das sich in einem zeitunabhängigen Potential Andererseits gilt die Schrödinger-Gleichung Aus (9.210) und (9.211) folgt die Gleichung mit der allgemeinen Lösung Andererseits kann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (9.109) als Eigenwertgleichung aufgefasst werden, indem wir schreiben Wir halten fest
Das Teilchen im Potentialtopf (siehe Abschnitte 9.1.1 und 9.4.2) ist ein instruktives Beispiel für das Auftreten diskreter Energiewerte Eigenfunktionen und Eigenwerte des ImpulsoperatorsWir betrachten einfachheitshalber ein eindimensionales System. Die Eigenwertgleichung lautet mit der allgemeinen Lösung wobei Eigenfunktionen und Eigenwerte des OrtsoperatorsWir beschränken uns wiederum auf eine Dimension und betrachten zusätzlich ein zeitunabhängiges Problem. Die Eigenwertgleichung nimmt dann folgende Form an Der Ortsoperator in der Ortsraumdarstellung entspricht dem Faktor Nach dieser Gleichung muss D.h. Eine solche Deltafunktion kann man angenähert als beliebig schmales Gausssches Wellenpaket beschreiben Eigenfunktionen und Eigenwerte des Operators Der Zustand eines Teilchens im dreidimensionalen Raum sei in Kugelkoordinaten ausgedrückt Mit (9.68) ergibt sich Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist Das erste Postulat (siehe Abschnitt 9.1) verlangt, dass die Wellenfunktion eindeutig sein muss. Daraus ergibt sich für die Wellenfunktion D.h. es muss gelten Diese Gleichung ist erfüllt, wenn Damit ergibt sich Die Eigenwerte Zu jedem Eigenwert (zu jeder Quantenzahl) Aus diesen Betrachtungen ergibt sich, dass die z-Komponente des Bahndrehimpulses - wenn sie einen scharfen Wert besitzt - nur die diskreten Werte 9.5.3 Das dritte Postulat: Die quantenmechanische MessungDas dritte Postulat der Quantenmechanik lautet: Postulat 3 Das Ergebnis einer einzelnen Messung einer Observablen Wir illustrieren Postulat 3 am Beispiel des Bahndrehimpulses aus dem vorangegangenen Abschnitt. Wir betrachten die Messung der Komponente des Bahndrehimpulses eines Teilchens längs einer vorgegebenen Achse. Eine solche ausgezeichnete Achse kann zum Beispiel durch die Richtung eines angelegten homogenen Magnetfeldes vorgegeben sein, eine Situation die wir im Kontext des Zeeman-Effekts noch genauer diskutieren werden. Es ist in der Quantenmechanik üblich, diese Achse, längs der die Komponente des Bahndrehimpulses gemessen wird, als z-Achse zu bezeichnen. Als Ergebnis einer solchen Messung der z-Komponente des Bahndrehimpulses 9.5.4 Simultane Eigenfunktionen zweier OperatorenNach Satz 9.1 nimmt der Erwartungswert erfüllt. Es stellt sich nun die Frage, ob Zustände Die Wellenfunktion stellt ein Teilchen dar, das sich im zeitlich und räumlich konstanten Potential längs der x-Achse bewegt. Nach Abschnitt 9.5.1 sind die Energie Daraus wird ersichtlich, dass es sich um eine simultane Eigenfunktion der Operatoren und eine Eigenfunktion von Das Ziel ist es nun ein allgemeines Kriterium zu formulieren, welches angibt, ob zwei Observable gleichzeitig scharf messbar sind. Im Zusammenhang mit der Erklärung der Bedeutung des Kommutators (siehe Abschnitt 9.3.3) haben wir diese Frage schon einmal gestreift, indem wir gesagt haben, dass die Erwartungswerte nicht kommutierender Operatoren gleichzeitig nicht mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden können. Wie angekündigt wollen wir nun diese Aussage präziser formulieren und beweisen. Es gilt der folgende Satz: Beweis: Wir betrachten die beiden Richtungen einzeln. „ Wenn Damit ergibt sich „ Zu zeigen ist, dass wenn die Anwendung des Kommutators Es sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) Da Mit (9.239) erhalten wir Da d.h.
Beispiele zur Anwendung des Satzes9.5.5 Orthogonalität der EigenfunktionenDie allgemeine mathematische Definition für die Orthogonalität zweier Funktionen lautet: Definition 9.14Zwei Funktionen Zum Beispiel sind die Funktionen Die gleiche Orthogonalitätsbedingung erfüllen auch die Funktionen Für die Wellenfunktionen Beweis:
Wir illustrieren Satz 9.3 an zwei bekannten Beispielen:
EntartungHäufig gehören zu einem Eigenwert Zum Beispiel sind die Eigenfunktionen mit den Eigenwerten Entartet sind dabei sicher alle Energieniveaus bei denen mindestens zwei der Quantenzahlen 9.5.6 Linearkombinationen von EigenfunktionenLinearkombinationen zum selben EigenwertFür Eigenfunktionen zum selben Eigenwert, d.h. im Fall der Entartung, gilt der folgende Satz: Satz 9.4 Eine Linearkombination von Eigenfunktionen des Operators Beweis: Seien Für eine Linearkombination dieser Eigenfunktionen
Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass Eigenfunktionen zum selben Eigenwert nicht notwendigerweise orthogonal sind. Im Allgemeinen ist es jedoch sehr hilfreich mit orthogonalen Eigenfunktionen rechnen zu können. Nach Satz 9.4 ist es nun möglich aus Eigenfunktionen Linearkombinationen zu unterschiedlichen EigenwertenNachdem wir nun Linearkombinationen von Eigenfunktionen, die zum selben Eigenwert gehören, betrachtet haben, kommen wir nun zu Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten. Genauer gesagt, gehen wir der Frage nach, welche physikalische Bedeutung ein Zustand hat, der eine Linearkombination von Eigenfunktionen des Operators Wir starten als Beispiel mit den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators für ein Teilchen im Potentialtopf. Nach Abschnitt 9.4.2 lauten die Eigenfunktionen wobei Wir bilden nun eine Linearkombination der Wellenfunktionen Jeder Summand von (9.274) ist eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (9.94). Dementsprechend ist nach dem Superpositionsprinzip (siehe Abschnitt 9.4.1) auch die Linearkombination Wir kommen zu einer allgemeinen Betrachtung. Es sei und bestimmen den Erwartungswert der Observablen wobei wir im letzten Schritt die Normierung und die Orthogonalität der Eigenfunktionen Wenn sich ein Teilchen im Zustand Diese Interpretation gilt auch bei Entartung, vorausgesetzt, dass die zu einem entarteten Eigenwert gehörenden Eigenfunktionen orthogonal sind. Die Konstruktion solcher orthogonaler Eigenfunktionen haben wir zu Beginn des Abschnitts skizziert (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). 9.5.7 Entwicklung nach EigenfunktionenDie Fourier-Reihe ist die Entwicklung einer periodischen Funktion nach einem speziellen orthogonalen Funktionensystem. Das analoge gilt für die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators: Beweis: Es seien
Als Illustration von Satz 9.5 ist im Anhang D die Entwicklung einer Dreiecksfunktion nach den Eigenfunktionen des Hamiltonoperators des Teilchens im Potentialtopf ausgeführt. Zusammen mit der Interpretation aus dem letzten Abschnitt 9.5.6, lässt sich nun Postulat 3 folgendermassen präzisieren: Das Ergebnis einer einzelnen Messung einer Observablen 9.6 Verallgemeinerung auf Systeme mit vielen FreiheitsgradenDer Formalismus, der hier am Beispiel der Bewegung eines einzelnen Teilchens (Massenpunkt) entwickelt wurde, gilt auch für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden. An die Stelle von 9.7 Zusammenfassung
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Welche bedeutung hat der hamilton-operator eines quantenmechanischen systems
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