Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks mit Pythagoras?

Umfang eines Dreiecks berechnen

Der Umfang des Dreiecks lässt sich sehr einfach berechnen. Er ist die Summe aller Seitenlängen. Es gilt also:

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$U  = a+ b + c$.

Um den Umfang eines Dreiecks berechnen zu können, müssen alle drei Seitenlängen bekannt sein. Genauso kann es sein, dass der Umfang und zwei Seitenlängen gegeben sind und du die fehlende Seitenlänge berechnen musst. Dazu musst du die Formel umstellen.

Beispiel

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Wir groß ist der Umfang?

$U  = a+ b + c$

Beispiel

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Wie groß ist $a$?

$a = U - b - c$

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Wie groß ist $b$?

$b = U - a - c$

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Wie groß ist $c$?

$c = U - a - b$

Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen zu können, benötigen wir eine weitere Größe: die Höhe. Die Höhe eines Dreiecks ist ein Lot, das von einem Punkt auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dementsprechend existieren in einem Dreieck drei unterschiedliche Höhen. Für den Flächeninhalt benötigen wir aber nur eine; in unserem Beispiel die Höhe auf die Seite $c$ ($h_c$).

Dreieck mit Höhe

Durch das Einzeichnen der Höhe teilen wir das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Diese Dreiecke werden nun an ihren längsten Seiten mit einem kongruenten Dreieck ergänzt, das so gedreht wird, dass sich ein Rechteck bildet.

Erweiterung des Dreiecks zum Rechteck

Das Ergänzen der Dreiecke musst du zum Glück nicht jedes Mal aufs Neue machen, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen. Wir erhalten nämlich eine Formel, mit deren Hilfe wir den Flächeninhalt in Zukunft ganz einfach berechnen können. Betrachten wir die geometrische Figur als Ganzes, erhalten wir ein Rechteck mit den Seitenlängen $c$ und $h_c$. Ganz allgemein bezeichnet man $h_c$ als Höhe und $c$ als die Grundseite. Um den Flächeninhalt des Rechtecks zu berechnen, müssen wir die Seitenlängen multiplizieren.

$A_{Rechteck} = g \cdot h =$ Grundseite $\cdot$ Höhe

Diese Formel können wir für unser Dreieck aber nicht einfach übernehmen, da wir uns ja Flächen dazu gedacht haben, um ein Rechteck zu bilden. Wir müssen den Flächeninhalt des Rechtecks noch durch $2$ teilen, um auf den Flächeninhalt des Dreiecks zu kommen.

$A_{Dreieck} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

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Berechnung des Flächeninhalts:

$A_{Dreieck} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Beispiel

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Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Höhe $5~cm$ und der Seitenlänge $c = 3cm$?

$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 5~cm \cdot 3~cm = 7,5cm^2$

Nun kennst du die Dreieck-Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt und kannst Berechnungen an einem Dreieck durchführen. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Dreieck berechnen online mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Flächeninhalt eines Dreiecks

Für den Flächeninhalt formen wir das Dreieck, wie schon beim Parallelogramm so um, dass sich eine bereits bekannte Figur ergibt. Da man ein Dreieck selbst wieder nur in Dreiecke zerlegen kann, wenden wir dieses Mal eine etwas andere Methode an. Wir nehmen einfach zwei Dreiecke und legen sie so aneinander, dass eine viereckige Figur entsteht. Probiere das doch einmal selbst aus.

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Wie du siehst, erhalten wir ein Parallelogramm. Dazu wird ein Dreieck um 180° gedreht. Anschließend werden beide Dreiecke zusammengesetzt. Wie du den Flächeninhalt des entstandenen Parallelogramms ausrechnest, weißt du ja bereits.

Aus zwei Dreiecken wird ein Parallelogramm (h entspricht in diesem Fall hc).

Gehen wir von einem Dreieck aus, dass an der Seite $b$ zusammengeführt wurde (s. Abbildung) erhalten wir für den Flächeninhalt des Parallelogramms $A= c\cdot h_{c}$.

Methode

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Vorsicht mit dem Begriff der Höhe.

Beachte bitte, dass wir hier von der Höhe auf die Seitenlänge c sprechen. Wie du weißt, gibt es genauso viele Höhen in einem Parallelogramm oder Dreieck, wie es unterschiedliche Seiten gibt. Sollte dir das neu vorkommen, musst du unbedingt das Kapitel wiederholen, indem wir uns mit Parallelogrammen beschäftigt haben.

Da das Parallelogramm aus insgesamt zwei Dreiecken besteht, musst du den erhaltenen Wert noch durch 2 teilen. Genauso gut funktioniert es, wenn du die Gleichung mit 0,5 multiplizierst.

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Den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks errechnet sich aus der halben Grundseite mal der Höhe. Da nicht immer klar ist, was genau die Grundseite ist, können wir diese Regel auch allgemeiner formulieren:

$A = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot h_{a})$

$A = \frac{1}{2} \cdot (b \cdot h_{b})$

$A = \frac{1}{2} \cdot (c \cdot h_{c})$

Sonderfall: Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Bei einem rechtwinkligen Dreieck, das heißt einem Dreieck bei dem einer der drei Winkel 90° beträgt, kann man den Flächeninhalt noch einfacher berechnen. Aus einem solchen Dreieck ergibt sich nämlich eine ganz besondere Form des Parallelogramms, die du bereits kennst: ein Rechteck.

Flächeninhalt bei einem rechtwinkligen Dreieck

Auch hier gilt natürlich: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist der halbe des Rechtecks.

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Der Flächeninhalt $A$ eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich aus der Hälfte des Produktes der am rechten Winkel anliegenden Seiten.

$A = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot b)$

Der Umfang $U$ errechnet sich genauso wie bei anderen Dreiecken.

Vertiefe das Wissen jetzt in den Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

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