Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 5 Zahlen

Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. In diesem Kapitel schauen wir uns die Kombination ohne Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet: Wie viele Möglichkeiten gibt es, $\boldsymbol{k}$ Kugeln aus einer Urne mit $\boldsymbol{n}$ Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen?

Inhaltsverzeichnis

• Definition
• Formel
• Beispiele

Erforderliches Vorwissen

• Kombinatorik

Definition 

Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden $k$ aus $n$ Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Objekt nur einmal ausgewählt werden kann.

Formel 

$$ {n \choose k} $$

${n \choose k}$ wird k aus n (früher auch: n über k) gesprochen.

Herleitung

Der einzige Unterschied zwischen einer Variation ohne Wiederholung und einer Kombination ohne Wiederholung ist die Tatsache, dass bei der Kombination – im Gegensatz zur Variation – die Reihenfolge der Objekte keine Rolle spielt.

Die Formel für die Variation ohne Wiederholung kennen wir bereits

$$ \frac{n!}{(n-k)!} $$

Dabei können die $k$ ausgewählten Objekte auf $k!$ verschiedene Weisen angeordnet werden. Da aber die Reihenfolge bei der Kombination unerheblich ist, lautet die Formel entsprechend

$$ \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = {n \choose k} $$

${n \choose k}$ bezeichnet man auch als Binomialkoeffizient.

Binomialkoeffzient in den Taschenrechner eingeben

Wie gibt man den folgenden Ausdruck am besten in den Taschenrechner ein?

$\boldsymbol{n}$1

Bei den meisten Taschenrechner gibt es dafür die nCr-Taste.

Beispiel Casio: [1][0] [Shift][$\boldsymbol{n}$2] [5] [=] 252

Beispiele 

Beispiel 1 

In einer Urne befinden sich fünf gleichartige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden.

Wie viele Möglichkeiten gibt es?

$\boldsymbol{n}$3

Es gibt 10 Möglichkeiten 3 von 5 Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen.

Wenn ich eine Geheimzahl mit fünf Stellen festlegen soll und dabei alle Zahlen von 0 bis 9 zulässig sind, wieviele mögliche Geheimzahlen ergibt das dann bzw. wie errechne ich diese Zahl.

Wie meine Frage sicher schon zeigt, bin ich ganz und gar kein Mathematiker (das ist auch keine Hausaufgabe, die Schulzeit liegt schon ein Weilchen hinter mir) und hoffe, dass das jemand weiß und möglichst kurz und verständlich erklären kann.

Besten Dank und Schönen Abend!

5 Antworten

uncledolan

10.12.2016, 18:58

10 Möglichkeiten pro Ziffer
5 verschiedene Ziffern

Allgemein gibt es (Möglichkeiten pro Ziffer)^(Anzahl der Ziffern) Möglichkeiten.

Also in diesem Fall genau 10^5 = 100.000 Möglichkeiten ---> das macht auch Sinn, denn es sind ja alle Zahlen von 1 bis 99.999 möglich (also 99.999 Stück), und die 0 selber (noch 1 Stück).

1 Kommentar 1

Memo2000plus 

Fragesteller

 10.12.2016, 21:37

Vielen Dank für die super Erklärung!

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Rubezahl2000

Topnutzer im Thema Mathematik

10.12.2016, 19:27

Um es anschaulich zu erklären, nimm erst mal ein zwei-stellige Geheimzahl.

Du kannst 10 verschiedene Ziffern an der 1. Stelle mit 10 verschiedenen Ziffern an der 2. Stelle kombinieren => 10•10 = 100 verschiedene Kombinationen.

Wenn du jede dieser 100 zweistelligen Kombinationen mit 10 verschiedenen Ziffern an der 3. Stelle kombinierst, hast du 10•10•10 = 1000 verschiedene dreistellige Geheimzahlen :-)
Und so weiter...

1 Kommentar 1

Memo2000plus 

Fragesteller

 10.12.2016, 21:37

Danke. Sehr anschaulich erklärt. Schönen Sonntag!

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Utz2504

10.12.2016, 18:57

Die Formel dafür ist ganz einfach:

Du hast pro Stelle 10 Möglichkeiten: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 und 9.

Das ganze mal 5 also 10x10x10x10x10 sind?

Fertsch

1 Kommentar 1

Memo2000plus 

Fragesteller

 10.12.2016, 18:58

Danke sehr .. Kurz und schmerzlos ;) verständlich und hoffentlich korrekt!

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Ellejolka

Community-Experte

Mathematik

10.12.2016, 19:02

wenn eine Zahl auch mehrfach auftreten darf und die 0 auch am Anfang stehen darf,  dann

10^5 = 100 000 Möglichkeiten

1 Kommentar 1

Memo2000plus 

Fragesteller

 10.12.2016, 21:38

Vielen Dank!

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gigrais

10.12.2016, 19:02

5 Stellen
_ _ _ _ _

0-9 pro Stellen heißt 10 Ziffer, also 10 Möglichkeiten je eine Stelle:

Dann haben wir 10*10*10*10*10 = 10^5 Möglichkeiten.

Entspricht dem Modell der Urne mit Zurücklegen mit 10 Kugel.

1 Kommentar 1

Memo2000plus 

Fragesteller

 10.12.2016, 21:38

Danke sehr für diese anschauliche Erklärung, und die Bestätigung, dass es wohl tatsächlich so richtig zu rechnen ist. Schönes WE!

Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 5 Farben?

Es gibt insgesamt 10 Möglichkeiten. Die Lösungen können auch anders notiert werden, z.B. mit Worten: rot-gelb-blau, … oder mit den Anfangsbuchstaben der Farben: RGB, RRG, RRB, …

Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten?

Nehmt die Fakultät der Objekte insgesamt, also wie viele es sind. Teilt dies durch die Fakultät aller gleichen Objekte, habt ihr also zum Beispiel 6 Kugeln davon sind 4 gleich und noch mal 2 gleich, dann teilt ihr also durch 4! · 2!.

Wie viele Möglichkeiten gibt es mit 4 Zahlen?

b) Da die Ziffer 3 nur genau einmal vorkommt, gibt es für die verbleibenden Stellen noch 9 (statt vorher 10) mögliche Ziffern (in jeweils 4 Anordnungen), somit gilt: 4 * 9^3 = 2.916.

Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 6 Zahlen?

Mit einer vierstelligen PIN lassen sich 10 000 verschiedene Kombinationen bilden, mit einer sechsstelligen eine Million.