Das allgemeine (beliebige) DreieckDefinition und Eigenschaften Show allgemeines Dreieck Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks. In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z. B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Häufig wird mit a, b und c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC, CA oder AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ liegt am Eckpunkt C
Das gleichseitige DreieckEigenschaften
Das gleichschenklige DreieckLinks ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck
Das rechtwinklige Dreieck
Literatur
Im Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Beweis Angenommen im Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(AB\) länger als die Seite \(AC\). Wir wollen zeigen, dass ∡\(C >\)∡\(B\). Auf der Seite \(AB\) zeichnet man die Strecke \(AD\) ein, die gleich lang wie \(AC\) ist. Da \(AD < AB\), liegt der Punkt \(D\) zwischen den Punkten \(A\) und \(B\). Also ist der Winkel \(1\) ein Teil des Winkels \(C\), das bedeutet, dass ∡\(C >\)∡\(1\). Der Winkel \(2\) ist der Außenwinkel des Dreiecks \(BDC\), deshalb ist ∡\(2 >\)∡\(B\). Es ist ∡\(1 =\)∡\(2\), weil sie die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks \(ADC\) sind. Also ist ∡\(C >\)∡\(1 =\)∡\(2 >\)∡\(B\). Das bedeutet, dass ∡\(C >\)∡\(B\). Es gilt auch die Umkehrung: Im Dreieck liegt dem größten Winkel die längste Seite gegenüber. Folgerung 1. Sind zwei Winkel gleich groß, ist das Dreieck gleichschenklig. Folgerung 2. Sind drei Winkel im Dreieck gleich groß, ist das Dreieck gleichseitig. Folgerung 3. In einem rechtwinkeligen
Dreieck ist die Hypothenuse länger als die Katheten. Jede Seite eines Dreiecks ist kürzer als die Summe der zwei anderen Seiten. Beweis Wir betrachten das Dreieck \(ABC\) und beweisen, dass \(AB < AC + BC\). Dazu verlängert man die Seite \(AC\) und markiert darauf die Strecke \(CD = BC\). Das Dreieck \(BCD\) ist gleichschenklig, d.h., ∡\(1 = \)∡\(2\). Im Dreieck \(ABD\) ist ∡\(ABD >\)∡\(1\), d.h., ∡\(ABD >\)∡\(2\). Da dem größten Winkel die längste Seite gegenüber liegt, ist \(AB < AD\), und es ist auch \(AD = AC + BC\), d.h., \(AB < AC + BC\). Folgerung 4. Für beliebige Punkte \(A, B\) und \(C\), die nicht auf einer Geraden liegen, gilt: Was ist der Winkel ACB?Meist bezeichnen wir die Winkel mit griechischen Buchstaben. So ist im Punkt A der Winkel α. etwa von CAB (sprich: „Winkel CAB“), so meinen wir den Winkel, den die zwei Schenkel durch die Punkte B und C im Punkt A einschließen.
Wie lautet der Basiswinkelsatz?Basiswinkelsatz. Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
Was ist die basislänge?Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis. Bei einem gleichschenkeligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall vom gleichschenkeligen Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.
Wie heißen die 3 Seiten eines Dreiecks?Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die längste Seite des Dreiecks und wird Hypotenuse genannt. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
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Ab gleich lang
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