Frage steht oben, sagen wir ich habe eine 3x3 Matrix, dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren. Was sagen diese nun genau aus und was kann ich nun mit dieser speziellen Matrix der Eigenwerte anstellen bzw die Eigenvektoren? stimmt das, dass die Eigenvektoren eine orthogonalbasis bilden? und was passiert da bei einer hauptachsentransformation, das geht dich
mit diagonalmatrizen besonders einfach, die nur werte an der Diagonale haben. Wieso ist das so? danke
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 Eine Matrix kann als Lineare
Abbildung einen Vektor drehen und strecken. Auf Eigenvektoren reagiert die Matrix nur durch Streckung (ohne Drehung). w=A*v (allgemein) w=lambda*v (lambda skalar) Für Eigenvektoren vereinfacht sich also die Matrix zu einem Skalar. Für reelle symmetrische und für hermitesche Matrizen kannst du immer auch eine vollständige Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bilden (die Eigenvektoren stehen hier senkrecht). Deine Basisvektoren sind im Allgemeinen keine Eigenvektoren.
Mit der Hauptachsentransformation drehst du jene nun quasi so, dass sie mit den Eigenvektoren übereinstimmen. Dann vereinfachen sich die Rechnungen, da die Matrix nur noch Diagonalelemente von 0 verschieden hat. Ll (Diagonalmatrix). Ein Beispiel: Jeder starre Körper hat 3 Hauptträgheitsachsen, also freie Achsen um die er sich ohne Taumeln drehen kann. Diese Achsen sind natürlich fest mit dem Körper verbunden. Das sind quasi seine Eigenvektoren. Du drehst die Tensormatrix nun so, dass deine
Basisvektoren mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen. Du erhältst eine Diagonalmatrix, in der die Diagonalelemente die Trägheitsmomente um jede der HTAn angibt (diese Werte sind auch gleichzeitig die Eigenwerte). Für einen sphärische Kreisel sind aus Symmetriegründen alle Eigenwerte gleich und jeder Vektor ist ein Eigenvektoren.
Ein Eigenwert ist ein Wert, für den gilt, dass wenn die die Matrix A mit dem Vektor x multipliziert wird, das produkt gleich dem eigenwert mal dem vektor x ist. Du kannst also die ganze matrix durch den eigenwert ersetzen, das ist praktisch bei Differentialgleichungen
Was möchtest Du wissen?In dieser Scherung der Mona Lisa wurde das Bild so verformt, dass der rote Pfeil (Vektor) seine Richtung (entlang der vertikalen Achse) nicht geändert hat, der blaue Pfeil jedoch schon. Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist. Da der rote Vektor nicht skaliert wird, ist sein zugehöriger Eigenwert 1. Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen[1] und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen, verwendet. Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden. Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.[2] Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist
Den Faktor nennt man dann den zugehörigen Eigenwert. Anders formuliert: Hat für ein die Gleichung eine Lösung (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt Eigenwert von Jede Lösung heißt Eigenvektor von zum Eigenwert Hat der Vektorraum eine endliche Dimension so kann jeder Endomorphismus durch eine quadratische -Matrix beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung schreiben, wobei hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt in diesem Fall eine Lösung Eigenvektor und Eigenwert der Matrix Diese Gleichung kann man auch in der Form schreiben, wobei die Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu oder umformen. Berechnung der Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch (exakt) berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen. Symbolische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Gleichung definiert die Eigenwerte und stellt ein homogenes
lineares Gleichungssystem dar. gilt. Diese Determinante heißt „charakteristisches Polynom“. Es handelt sich um ein normiertes Polynom -ten Grades in Seine Nullstellen, also die Lösungen der Gleichung über , sind die Eigenwerte. Da ein Polynom vom Grad höchstens Nullstellen hat, gibt es auch höchstens Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren, so gibt es genau Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Ist der Grad eine ungerade Zahl und gilt , dann ist mindestens einer der Eigenwerte reell. Eigenraum zum Eigenwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist ein Eigenwert der linearen Abbildung , dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor den Eigenraum zum Eigenwert . Der Eigenraum ist durch definiert. Falls die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert entartet.[3] Die Dimension des Eigenraums wird als geometrische Vielfachheit von bezeichnet. Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Spektrum und Vielfachheiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für den Rest dieses Abschnittes sei Dann besitzt jede genau Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt. Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten Dabei ist und Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit werden als einfacher Eigenwert bezeichnet. Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und geschrieben, sodass also gilt. Als Spektralradius bezeichnet man den größten Betrag aller Eigenwerte. Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert. Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen. Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei die quadratische Matrix gegeben. Subtraktion der mit multiplizierten Einheitsmatrix von ergibt: Ausrechnen der Determinante dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus) liefert: Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms, man erhält: Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, weil er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie
sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen als auch Methoden für dünnbesetzte große Matrizen wie
Des Weiteren gibt es noch Methoden zur Abschätzung, z. B. mithilfe
die immer eine grobe Abschätzung (unter gewissen Bedingungen sogar genaue Bestimmung) zulassen.
Berechnung der Eigenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für einen Eigenwert lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung bestimmen. Die Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert der geometrischen Vielfachheit lassen sich also linear unabhängige Eigenvektoren finden, sodass die Menge aller Eigenvektoren zu gleich der Menge der Linearkombinationen von ist. Die Menge heißt dann eine Basis aus Eigenvektoren des zum Eigenwert gehörenden Eigenraumes. Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren. Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit. Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben ist wie in obigem Beispiel die quadratische Matrix Die Eigenwerte wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (und der durch die Eigenvektoren aufgespannte Eigenraum) zum Eigenwert berechnet: Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen: Bringt man die Matrix auf obere Dreiecksform, so erhält man: Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist). Obwohl der Eigenwert eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert ist eindimensional); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man kann nun versuchen, die Matrix stattdessen in die Jordansche Normalform überzuführen. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren. Für den Eigenwert geht man genauso vor: Wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform: Hier ist die Lösung der Vektor wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen. Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]wobei bei mehrfachen Eigenwerten die Vielfachheit zu beachten ist. Hier bezeichnet die Spur der Matrix .
Speziell für reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrizen gilt: Eigenvektoren kommutierender Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für kommutierende diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrizen ist es möglich, ein System gemeinsamer Eigenvektoren zu finden: Kommutieren zwei Matrizen und (gilt also ) und ist ein nichtentarteter Eigenwert (d. h., der zugehörige Eigenraum ist eindimensional) von mit Eigenvektor so gilt Auch ist also ein Eigenvektor von zum Eigenwert Da dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss ein Vielfaches von sein. Das bedeutet, dass auch ein Eigenvektor der Matrix ist. Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass die Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind. Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden.[7] Aus diesem Grund können mehrere paarweise kommutierende diagonalisierbare Matrizen auch simultan (d. h. mit einer Basistransformation für alle Matrizen) diagonalisiert werden. Linkseigenvektoren und verallgemeinertes Eigenwertproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch als Rechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff des Linkseigenvektors durch die Gleichung Linkseigenvektoren finden sich z. B. in der Stochastik bei der Berechnung von stationären Verteilungen von Markow-Ketten mittels einer Übergangsmatrix. Wegen sind die Linkseigenvektoren von gerade die Rechtseigenvektoren der adjungierten Matrix Bei normalen Matrizen fallen Links- und Rechtseigenvektoren zusammen. Allgemeiner kann man auch quadratische Matrizen und und die Gleichung untersuchen. Dieses verallgemeinerte Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht weiter betrachtet. Spektraltheorie in der Funktionalanalysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eigenwerte und Eigenfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearen Funktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen). Meistens spricht man von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei ein Vektorraum über einem Körper mit und ein linearer Operator. In der Funktionalanalysis ordnet man ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen für die der Operator nicht invertierbar ist. Dieses Spektrum muss jedoch nicht – wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen – diskret sein. Denn im Gegensatz zu den linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, die nur verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum. Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Elemente, die die Gleichung für ein lösen, nennt man wie in der linearen Algebra Eigenwerte. Die Gesamtheit der Eigenwerte nennt man das Punktspektrum von Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen. Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei offen. Dann besitzt der Ableitungsoperator ein nichtleeres Punktspektrum. Betrachtet man nämlich für alle die Gleichung und wählt dann sieht man, dass die Gleichung für alle erfüllt ist. Also ist jedes ein Eigenwert mit zugehöriger Eigenfunktion Praktische Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man
Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle. Physikalische Größen wie z. B. der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z. B. der Hamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann die Energie nur diskrete Werte annehmen, was z. B. für die Energieniveaus in einem Atom typisch ist. So stellen bei den Lösungen der bekannten Schrödingergleichung (im Jahr 1926 durch den Physiker Erwin Schrödinger aufgestellt) die Eigenwerte die erlaubten Energiewerte der Elektronen und die Eigenfunktionen die zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar. Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. B. von Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert. Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Was sagt ein Eigenwert aus?Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.
Was sagt der Eigenvektor aus?Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.
Für was braucht man Eigenvektoren?Eigenvektoren werden zur Diagonalisierung von Matrizen verwendet. Matrizen repräsentieren lineare Abbildung (Drehung, Scherung, Spiege- lung). Eigenvektoren geben die Geraden an, die dabei erhalten bleiben.
Wann gibt es Eigenwerte?Eigenwerte einfach erklärt
Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Einen solchen Vektor nennt man Eigenvektor und der Vorfaktor heißt Eigenwert einer Matrix.
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Was sagen Eigenwerte und Eigenvektoren aus?
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