Alpha mal sklaraprodukt von v und gleich 0

Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Sein Ergebnis ist ein Skalar (= eine reelle Zahl), im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.

Für das Skalarprodukt der Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} schreibt man a⃗∘b⃗\vec{a}\circ\vec{b},  a⃗⋅ b⃗\ \vec{a}\cdot\vec{b} oder auch ⟨a⃗,b⃗⟩\langle \vec a, \vec b\rangle.

Anmerkung: Um das Skalarprodukt (Vektor mal Vektor) vom skalaren Multiplizieren (Zahl mal Vektor) zu unterscheiden, verwenden wir hier ∘\circ als Symbol für das Skalarprodukt.

Wichtig: Man kann das Skalarprodukt von zwei Vektoren nur bilden, wenn sie beide gleich viele Komponenten haben.

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a⃗\vec{a} und b ⃗\vec{b} ist definiert als

• ihre komponentenweise Multiplikation und die

• anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In der Ebene

Im Raum

In beiden Fällen wird

• die  1. Komponente\color{#ff6600}{\text{ 1. Komponente}} von a⃗\vec{a} mit der  1. Komponente\color{#ff6600}{\text{ 1. Komponente}} von b⃗\vec{b},

• die  2. Komponente \color{#660099}{\text{ 2. Komponente }}von a⃗\vec{a} mit der  2. Komponente \color{#660099}{\text{ 2. Komponente }}von b⃗\vec{b}

und im Raum auch

• die  3. Komponente \color{#006400}{\text{ 3. Komponente }} von a⃗\vec{a} mit der  3. Komponente \color{#006400}{\text{ 3. Komponente }}von b⃗\vec{b}

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec b!

a⃗=(−32) b⃗=(711)\vec a=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\;\;\;\; \vec b=\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}

Wende die Definition an und du erhältst:

a⃗∘b⃗=( −32)∘(711) =−3⋅7+2⋅11=−21+22=1\vec a\circ\vec b=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}=-3\cdot7 +2\cdot11 = -21 + 22 = 1

Das Skalarprodukt von a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} beträgt somit 11.

Verwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, genau dann wenn ihr Skalarprodukt 0 0 ergibt. Du hast also

a⃗⊥b⃗⇔a⃗∘b⃗=0\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a\circ\vec b=0

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} senkrecht aufeinander stehen!

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

Da ihr Skalarprodukt 00 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

∣a⃗ ∣=a⃗∘a⃗=a12+a22\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}

Im Raum

∣a⃗∣=a⃗∘a⃗=a12+a22 +a32\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\circ\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ a_3^2}

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge 00 hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors a⃗\vec{a}.

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von a⃗ \vec a mit sich selbst:

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors a⃗\vec a.

Der Vektor a⃗\vec a besitzt also die Länge 55.

Winkel zwischen Vektoren

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel ermitteln, den zwei Vektoren miteinander einschließen (vorausgesetzt, keiner von ihnen ist der Nullvektor). Der Winkel hat immer einen Wert zwischen 0 und π\pi bzw. zwischen 0∘0^\circ und 180∘180^\circ.

Für den Winkel φ\varphi zwischen zwei Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} gilt:

a⃗∘b⃗=∣a⃗ ∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡φ\vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\varphi

Durch Umformen erhältst du: cos⁡φ=a⃗∘b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\displaystyle \cos \varphi =\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|} ⇒φ=cos⁡−1( a⃗∘b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)\displaystyle \Rightarrow\;\;\;\;\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder a⃗\vec{a} noch b⃗\vec{b} gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren a⃗ =(10)\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und b⃗=(11) \displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

a⃗∘b⃗=1⋅1+1⋅ 0=1\vec{a}\circ\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0=1 .

Als nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

∣a⃗∣=12 +02=1|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1

∣b⃗∣=12+12 =2|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

φ=cos⁡ −1(a⃗∘b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)= cos⁡−1(11⋅2)=45∘\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}\right)=45^\circ

Der Winkel φ\varphi zwischen den beiden Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} ist also 45∘45^\circ .

Übungsaufgaben

Inhalt wird geladen…

Inhalt wird geladen…

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Skalarprodukt

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0. → Was bedeutet das?

Wann ist das Skalarprodukt gleich null?

Was ist wenn Skalarprodukt 0 ist?

Was wenn vektorprodukt gleich 0?

Warum orthogonal wenn Skalarprodukt 0?