Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs eine ganzrationale Funktion befindet. Zu den ganzrationalen Funktionen zählen u. a. lineare Funktionen und quadratische Funktionen. Show Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
DefinitionsmengeDie Definitionsmenge In gebrochenrationale Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen – außer die, für die der Nenner gleich Null wird – einsetzen:
Zur Erinnerung: Eine Division durch Null ist nicht erlaubt! Beispiel 4 Gegeben sei die Funktion
Bestimme die Definitionsmenge. Nennerfunktion gleich Null setzen
Gleichung lösen Wir lösen die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformung:
Definitionsmenge aufschreiben
Beispiel 5 Gegeben sei die Funktion
Bestimme die Definitionsmenge. Nennerfunktion gleich Null setzen
Gleichung lösen Durch Ausklammern von
Mithilfe des Satzes vom Nullprodukt erhalten wir als einzige Lösung
Definitionsmenge aufschreiben
Beispiel 6 Gegeben sei die Funktion
Bestimme die Definitionsmenge. Nennerfunktion gleich Null setzen
Gleichung lösen Wir lösen die quadratische Gleichung mit einem der bekannten Verfahren und erhalten
Definitionsmenge aufschreiben
WertemengeDie Wertemenge Bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich keine allgemeine Aussage über die Wertemenge machen. Die Wertemenge ist von der jeweiligen Funktion abhängig. EigenschaftenDefinitionslückenDort, wo der Nenner gleich Null wird, hat der Graph eine Definitionslücke. Wir unterscheiden zwei Arten von Definitionslücken:
AsymptotenManche Graphen von gebrochenrationalen Funktionen nähern sich für Der Fachbegriff für diese Gerade oder Kurve ist Asymptote. Wir unterscheiden vier Arten von Asymptoten:
Um herauszufinden, welche Art von Asymptote bei einer bestimmten gebrochenrationalen Funktion vorliegt, müssen wir den Zähler- und den Nennergrad bestimmen. Zählergrad & NennergradDer höchste Exponent im Zähler einer gebrochenrationalen Funktion heißt Zählergrad. Beispiel 7 Der Zählergrad der gebrochenrationalen Funktion
ist Der höchste Exponent im Nenner einer gebrochenrationalen Funktion heißt Nennergrad. Beispiel 8 Der Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion
ist AusblickIm Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen: KriteriumZählergrad bestimmenHöchster Exponent im ZählerNennergrad bestimmenHöchster Exponent im NennerAsymptoten berechnen- Senkrechte AsymptoteNullstellen des Nenners (Definitionslücken)- Waagrechte AsymptoteZählergrad < Nennergrad oderZählergrad = Nennergrad- Schiefe AsymptoteZählergrad = Nennergrad + 1- Asymptotische KurveZählergrad > Nennergrad + 1Nullstellen $$ f(x) = \frac{x + 4}{x^3+x} $$ 4Polstelle$$ f(x) = \frac{x + 4}{x^3+x} $$ 5Hebbare Definitionslücke$$ f(x) = \frac{x + 4}{x^3+x} $$ 6GrenzwertPartialbruchzerlegungVergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe Nullstelle, Definitionslücke, Polstelle und Hebbare Definitionslücke voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den oben genannten Kapiteln ausführlich erklärt. Wann ist eine Funktion ganz rational?Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden.
Woher weiß man ob es eine gebrochenrationale Funktion ist?Merke: Eine Funktion f(x) nennst du gebrochen rational, wenn ihr Funktionsterm der Quotient zweier Polynome p(x) und q(x) ist.
Wie sieht eine ganzrationale Funktion aus?Eine Funktion f: x ↦ f ( x ) x\mapsto f(x) x↦f(x), deren Funktionsterm f ( x ) f(x) f(x) ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion.
Was sind ganz rationale Zahlen?Man nennt eine Zahl ganzrational, wenn sie im Ganzheitsring des (über ℚ eindimensionalen) algebraischen Zahlkörpers ℚ der rationalen Zahlen liegt. Da dieser Ganzheitsring aber gerade der Ring ℤ der ganzen Zahlen ist, ist eine ganzrationale Zahl nichts anderes als eine (gewöhnliche) ganze Zahl.
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