Wieso ist 1 durch 0 75 gleich 1 3333

Der Rechner beherrscht die Grundrechenarten +, -, *, / und auch ^ (="hoch", Potenzierung; nur ganzzahlige Exponenten sind erlaubt), beachtet die Priorit�tsregeln (Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung) und erkennt Klammerung. Die Ergebnisse werden vollst�ndig gek�rzt.
Es k�nnen auch Br�che in gemischter Schreibweise eingegeben werden: Zwischen ganzzahligem Anteil und dem Z�hler mu� ein Unterstrich stehen. (Beispiele: "Zwei, ein Drittel": 2_1/3; "Anderthalb": 1_1/2)
Periodische und unperiodische Dezimalbr�che k�nnen eingegeben werden, indem vor dem Periodenbeginn ein kleines p in die Zahl einf�gt wird (z.B. 0,p3 f�r "ein Drittel").     

Hinweis:
Die fr�here Beschr�nkung des Rechners ("Erkennung" von Nennern nur bis 100000) entf�llt, da die aktuelle Version nunmehr echte Bruchrechnung beherrscht. Die Br�che werden nicht durch Division in Dezimalbr�che umgewandelt, sondern als "Objekte" behandelt. Klicke hier, um zu sehen, wie der letzte Term "objektorientiert" berechnet wurde.

→ Erl�uterungen zu den Grundrechenarten und zum K�rzen

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Umwandeln von periodischen Dezimalbr�chen in echte Br�che

So geht's:
Zerlege die Dezimalzahl in ihre Teile: Ganzzahl + unperiodischer Teil + periodischer Teil. Wandle dabei die Teile nach dem Komma folgenderma�en in Br�che um: Beim unperiodischen Teil besteht der Z�hler aus der Ziffernfolge nach dem Komma; der Nenner besteht aus einer 1 mit sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Beim periodischen Teil schreibe die periodische Ziffernfolge in den Z�hler; in den Nenner kommen soviele Neunen, wie die Periode lang ist, gefolgt von sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Addiere die drei Teile, k�rze, falls m�glich, fertig.
Bsp.: 8,04321p657 = 8 + 4321/100000 + 657/99900000= 8 + (4316679+657)/99900000= 8 + 4317336/99900000= 8 + 59963/1387500 = 11159963/1387500

→ Details und interaktive Beispiele

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Umwandeln von echten Br�chen in (periodische) Dezimalbr�che

So geht's:
Z�hler durch Nenner schriftlich dividieren. Sobald sich hinter dem Komma ein Rest wiederholt, kann man aufh�ren: Ab derjenigen Stelle im Quotienten (="Ergebnis"), die den sich wiederholenden Rest erzeugt hatte, ist der Dezimalbruch periodisch. Zum Sehen von Beispielen das Fenster zur kompletten Darstellung von schriftlichen Divisionen �ffnen und Br�che eingeben.

→ Fenster zur kompletten Darstellung der schriftlichen Division �ffnen
→ Berechnung der Periodenl�nge

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Approximation von Dezimalbr�chen durch echte Br�che

Erkl�rung der Approximation durch Kettenbruchentwicklung: siehe unten

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Endliche Kettenbr�che

Die ganzzahligen Summanden in den Nennern der endlichen Kettenbruchentwicklung gewinnt man, indem man mit dem Euklidischen Algorithmus den ggT aus Z�hler und Nenner bestimmt:

Hieraus l��t sich ein umgekehrter Algorithmus gewinnen, um aus einem gegebenen Kettenbruch schnell auf den Wert zu schlie�en. Man gibt Kettenbr�che in der Regel an, indem man die ganzzahligen Summanden nennt, angefangen mit der Zahl vor dem Kettenbruch (falls die fehlt, dann 0), z.B.: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Der Wert des Kettenbruchs errechnet sich dann folgenderma�en. Die gegebene Folge wird von hinten abgearbeitet:

�brigens f�hren die Br�che aus aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...} stets auf Kettenbr�che der Form (1,1,1,1,...,1,1,2), wenn die gr��ere Zahl im Z�hler steht, bzw. (0,1,1,1,...,1,1,2) im umgekehrten Fall. Der Zahlenwert der Quotienten n�hert sich sehr rasch dem goldenen Schnitt an; und dieser hat die au�erordentlich bemerkenswerte unendliche Kettenbruchentwicklung (1,1,1,1,1,1,1,1,...). Umgekehrt bildet auch die Folge aus den Quotienten aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen die Folge jeweils besserer Approximationen f�r den goldenen Schnitt, wie oben �berpr�ft werden kann. Man gebe sukzessive eine Folge von Einsen ein oder 1 p 1.

Periodische unendliche Kettenbr�che
Man kann jede reelle Zahl in einen Kettenbruch entwickeln. Der Kettenbruch ist genau dann endlich, wenn die Zahl rational, also durch einen Bruch darstellbar, ist; sonst ist sie unendlich, n�hert sich aber durch die oben dargestellten N�herungsbr�che der reellen Zahl beliebig nahe an. Die Kettenbruchentwicklung von Quadratwurzeln nat�rlicher Zahlen, die selbst keine Quadratzahlen sind, ist stets periodisch. Die Periode beginnt mit dem zweiten Folgeglied und h�rt mit einer Zahl auf, die das Doppelte des ersten Folgegliedes ist. Die Periode ist bis zur vorletzten Zahl symmetrisch. Bsp.: √= [4 p 2 1 3 1 2 8]. Man kann das ebenfalls auf dieser Seite anschauen, indem man statt eines Bruchs oben einen Ausdruck wie sqr(29) eingibt. Der Periodenbeginn wird in der Zahlenfolgendarstellung durch ein p angezeigt, auch N�herungsbr�che werden erzeugt, soweit das die Gr��e der Z�hler und Nenner noch zul��t. Auch die Umwandlung von periodischer Folgedarstellung in die zugeh�rige reelle Zahl funktioniert jetzt. Man gebe im Feld "Kettenbruchdarstellung als Zahlenfolge" die entsprechende Folge ein, wobei vor dem Periodenbeginn ein p eingef�gt werden mu� (beispielsweise 1 p 1 f�r den goldenen Schnitt). Wenn in der Kettenbruchentwicklung eine Periode erkannt wird, kann daraus eine sogenannte quadratische Irrationalzahl der Form (a+√b)/c (mit ganzen Zahlen a,b,c) rekonstruiert werden. Details dazu →hier. Im →Rechner f�r gro�e Zahlen k�nnen nunmehr Kettenbruchentwicklungen mit hoher Genauigkeit (bis 1000 Glieder) erzeugt werden. Stellen Sie dazu die Anzahl der angezeigten Kommastellen mindestens auf 1500.

L�sungen linearer diophantischer Gleichungen mithilfe der Kettenbruchentwicklung
Diophantische Gleichungen sind Gleichungen, deren Variablen und Koeffizienten nur ganzzahlige Werte annehmen. Gleichungen der Form ax + by = c, wobei a, b und c gegebene ganze Zahlen darstellen, lassen sich mithilfe der Kettenbruchentwicklung des Bruchs a/b l�sen. Der vorletzte N�herungsbruch Z/N gibt eine L�sung der Gleichung ax + by = 1 an, wobei x=�N und y=�Z. (Die richtigen Vorzeichen m�ssen herausgefunden werden.) Im folgenden interaktiven Beispiel k�nnen die Faktoren vor x und y sowie die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen ver�ndert werden.
 
Interaktives Beispiel: x -y =
Finde zun�chst eine L�sung f�r 13x - 11y = 1 durch Kettenbruchentwicklung von 13/11. Der vorletzte N�herungsbruch ist 6/5, d.h. �13�5 � 11�6 = 1 erzeugt eine L�sung. Man findet (durch Ausprobieren) die richtige Vorzeichenkombination: -13�5 + 11�6 = 1. Diese Gleichung multipliziert man mit 5 und erh�lt so eine L�sung der urspr�nglichen Gleichung: -13�25 + 11�30 = 5; d.h. x=-25 und y=-30 l�sen die Gleichung (es gibt unendlich viele weitere L�sungen, siehe die Verweise unten).

 Systematische L�sungsverfahren zum Auffinden aller L�sungen solcher Gleichungen sind →hier und (auch f�r mehr als zwei Unbekannte) →hier beschrieben.

L�sung der Pellschen Gleichung mithilfe der Kettenbruchentwicklung
Gleichungen der Form x�-dy�=�1 mit festem d∈N und den unbekannten Ganzzahlen x,y nennt man Pellsche Gleichung. Ist d ein Quadrat, so erf�llen nur x=±1 und y=0 die Gleichung (trivialer Fall). Ansonsten bestimmt man �ber die Kettenbruchentwicklung eine Folge von N�herungsbr�chen f�r √d. Gewisse N�herungsbr�che geben dann mit x/y eine L�sung der Pellschen Gleichung an. Welche es sind, h�ngt von der Periodenl�nge n der Kettenbruchentwicklung ab. Das l��t sich leicht an dem folgenden interaktiven Beispiel studieren (der Faktor vor y� kann ver�ndert werden):
 
Interaktives Beispiel: x� –y� = �1.

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© Arndt Brünner
Erl�uterungen zu den Grundrechenarten,   zum K�rzen
und zum Umwandeln von Kommazahlen in Br�che
�gyptische Darstellung mit Stammbr�chen
Matheseitenüberblick
G�stebuch
Rechner
Version: 7. 11. 2011

Was ist der Bruch von 0 75?

Wie viel ist ⅓?

Was ist größer 0 3 oder 0 Periode 3?

Was sind 75 in einem Bruch?