1 plus 1 gleich 0

Notionally a += b "adds" b to a storing the result in a. This simplistic description would describe the += operator in many languages.

However the simplistic description raises a couple of questions.

1. What exactly do we mean by "adding"?
2. What exactly do we mean by "storing the result in a"? python variables don't store values directly they store references to objects.

In python the answers to both of these questions depend on the data type of a.

So what exactly does "adding" mean?

• For numbers it means numeric addition.
• For lists, tuples, strings etc it means concatenation.

Note that for lists += is more flexible than +, the + operator on a list requires another list, but the += operator will accept any iterable.

So what does "storing the value in a" mean?

If the object is mutable then it is encouraged (but not required) to perform the modification in-place. So a points to the same object it did before but that object now has different content.

If the object is immutable then it obviously can't perform the modification in-place. Some mutable objects may also not have an implementation of an in-place "add" operation . In this case the variable "a" will be updated to point to a new object containing the result of an addition operation.

Technically this is implemented by looking for __IADD__ first, if that is not implemented then __ADD__ is tried and finally __RADD__.

Care is required when using += in python on variables where we are not certain of the exact type and in particular where we are not certain if the type is mutable or not. For example consider the following code.

def dostuff(a):
    b = a
    a += (3,4)
    print(repr(a)+' '+repr(b))

dostuff((1,2))
dostuff([1,2])

When we invoke dostuff with a tuple then the tuple is copied as part of the += operation and so b is unaffected. However when we invoke it with a list the list is modified in place, so both a and b are affected.

In python 3, similar behaviour is observed with the "bytes" and "bytearray" types.

Finally note that reassignment happens even if the object is not replaced. This doesn't matter much if the left hand side is simply a variable but it can cause confusing behaviour when you have an immutable collection referring to mutable collections for example:

a = ([1,2],[3,4])
a[0] += [5]

In this case [5] will successfully be added to the list referred to by a[0] but then afterwards an exception will be raised when the code tries and fails to reassign a[0].

Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.

Was heißt es, die 1+1 Aufgaben sicher zu beherrschen?

Die Aufgaben des kleinen Einspluseins bestehen immer aus zwei Summanden, deren Werte zwischen 0 und 10 liegen. Diese lassen sich in einer sogenannten Einspluseins-Tafel sortiert anordnen. Kinder sollten die Aufgaben im Verlauf der ersten Grundschuljahre auswendig abrufen können. Dafür sollen sie diese aber nicht als „Einzelfakten“ pauken, sondern sie sich durch das Nutzen von Beziehungen zwischen den Aufgaben erschließen und so nachhaltig verfügbar haben (Selter & Zannetin, 2018, S. 63 f.).

Die Aufgaben des kleinen Einspluseins unterscheiden sich in ihrem Schwierigkeitsgrad. Es gibt einprägsamere und weniger einprägsame Aufgaben. Die einprägsameren Aufgaben werden als Kernaufgaben bezeichnet. Besonders schnell lernen Kinder zum Beispiel Aufgaben mit den Summanden 0, 1 oder 10 (hellblau). Aber auch Aufgaben mit der 5 als Summand (grün), Verdopplungsaufgaben, d. h. Aufgaben mit gleichen Summanden (dunkelblau), oder Aufgaben zur Zerlegung der 10 (rot) sind für Kinder gut einprägsam (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 67).

Die besonderen Merkmale der jeweiligen Kernaufgabenfamilie zeigen sich auch in der Darstellung mit Material, z. B. mit Wendeplättchen am Zwanzigerfeld, deren Vorstellungsbilder Kinder zum Abrufen der Kernaufgaben nutzen können.

Ausgehend von den Kernaufgaben können die Kinder sich die lediglich 36 verbleibenden Nicht-Kernaufgaben (in der Einspluseins-Tafel weiß dargestellt) durch die Ausnutzung der folgenden Strategien ableiten (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 67 f.).

Da es zu jeder Aufgabe eine Tauschaufgabe mit gleichem Ergebnis gibt, bleiben letztlich nur noch 18 Aufgaben übrig, die gelernt werden müssen. Bei Tauschaufgaben werden der erste und zweite Summand vertauscht, die Summe bleibt dabei gleich. 

Zudem hat jede der weniger einprägsamen Aufgaben mindestens eine Kernaufgabe als Nachbarn. Auf diese sogenannten Nachbaraufgaben kann ebenfalls beim Lösen von Nicht-Kernaufgaben zurückgegriffen werden: einer der beiden Summanden der Ausgangsaufgabe wird um eins erhöht oder verringert, wodurch die Summe der Nachbaraufgabe ebenfalls um eins größer bzw. kleiner ist.

Außerdem können auch sogenannte Partneraufgaben beim Lösen der weniger einprägsamen Aufgaben von den Kindern genutzt werden. Bei Partneraufgaben werden beide Summanden um den gleichen Wert gegensinnig verändert, also in entgegengesetzte Richtung. So bleibt die Summe der Aufgaben gleich. 

Kinder müssen die Beziehungen zwischen den Aufgaben kennen, damit sie diese zum geschickten Rechnen nutzen können. Das Entdecken und Nutzen dieser Zusammenhänge und Beziehungen geschieht allerdings nicht automatisch, sondern bedarf passender Aufgaben und Übungen. Entsprechende Übungen dazu finden Sie im Übungsteil dieses Moduls.

Warum ist es wichtig, die 1+1 Aufgaben sicher zu beherrschen?

Sowohl beim Kopfrechnen, beim halbschriftlichen als auch beim schriftlichen Rechnen wird auf die Aufgaben des kleinen Einspluseins zurückgegriffen. Zentral ist somit, dass Kinder diese Grundaufgaben schnell und fehlerfrei abrufen können, um auch in erweiterten Zahlenräumen sicher zu rechnen.

Durch den Rückgriff auf die erarbeiteten Ableitungsstrategien können Kinder sich zudem vom zählenden Rechnen lösen (Gaidoschik, 2010; 2014). Es ist somit wichtig, die Kinder dafür zu sensibilisieren, Strukturen und Beziehungen zwischen den Aufgaben zu erkennen und zu nutzen. Denn auch im erweiterten Zahlenraum sollen sie sich diese Strategien zu Nutze machen, indem sie Analogien in den anderen Zahlenraum übertragen.

Welche Schwierigkeiten können auftreten?

Kinder benötigen einen „Aufgaben- und Zahlenblick“, der das Erkennen von Beziehungen und Strukturen zwischen Aufgaben ermöglicht. Dieser muss allerdings erst entwickelt werden. Vielen Kindern fällt das nicht leicht, daher muss dies durch gezielte Übungen initiiert werden.

Außerdem ist die Voraussetzung zum Erschließen der Einspluseins-Aufgaben das Vorhandensein gesicherter Operationsvorstellungen. Kinder müssen bereits Grundvorstellungen zur Addition aufgebaut haben, sich also ein Bild zu Additionsaufgaben machen können und dabei auch zwischen Darstellungsformen (z. B. der symbolischen Form 4+5 und der Darstellung am Zwanzigerfeld) wechseln können (s. Modul Addition verstehen). 

Mit welchen anderen Themen hängt dieses Modul zusammen?

• Addition verstehen (1. Schuljahr)
• Sicher im 1–1 (1. Schuljahr)

Weiterführende Informationen

• primakom: Kopfrechnen
• PIKAS: Elterninfo 1+1

Weitere Anregungen

• PIKAS: 1+1 Kartei 

Literatur

• Gaidoschik, M. (2010). Wie Kinder rechnen lernen – oder auch nicht. Eine empirische Studie zur Entwicklung von Rechenstrategien im ersten Schuljahr. Frankfurt am Main: Peter Lang. 
• Gaidoschik, M. (2014). Einmaleins verstehen, vernetzen, merken. Strategien gegen Lernschwierigkeiten. Seelze: Klett/Kallmeyer.
• Götze, D., Selter, Ch. & Zannetin, E. (2019). Das KIRA-Buch: Kinder rechnen anders. Verstehen und Fördern im Mathematikunterricht. Hannover: Kallmeyer.
• Selter, Ch. & Zannetin, E. (2018). Mathematik unterrichten in der Grundschule. Inhalte - Leitideen - Beispiele. Seelze: Kallmeyer.

Was gibt 1 plus 1?

Wann ist gleich 0?

Ist 0 gleich 1?

Wieso 0 gleich 1?