Für Potenzgleichungen solltest du gut mit Potenzen und Wurzeln umgehen können. Hier kommen die wichtigsten Dinge in der Übersicht, dann kannst du Potenzgleichungen auch gut lösen. Show
Was ist eine Potenz?Multiplizierst du eine Zahl mehrfach mit sich selbst, kannst du das Produkt als Potenz schreiben. $$5*5*5*5=5^4$$ └──┬───┘ $$4$$-mal der Faktor $$5$$ Exponent oder Hochzahl $$uarr$$ $$5^4=625$$ $$darr$$ $$darr$$ Basis Potenzwert Als Basis kannst du auch Bruch- und Dezimalzahlen sowie reelle Zahlen verwenden:
$$cdot$$ $$(-0,3)^3=(-0,3)*(-0,3)*(-0,3)=-0,027$$.
Die Potenz $$a^n$$ der reellen Zahl $$a$$ und der natürlichen Zahl $$n$$ ist das Produkt $$a*a*…*a$$ aus $$n$$ Faktoren. Die Berechnung der $$n$$-ten Potenz einer Zahl $$a$$ heißt Potenzieren. Mit Potenzen kannst du rechnen! Was ist eine Wurzel?Das Wurzelziehen ist die Umkehrung vom Potenzieren. Welche Zahl „hoch 4“ ergibt 625? Dazu brauchst du die Wurzel:
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung zum Potenzieren. Begriffe: Wurzelexponent $$uarr$$ $$root 3 (8)=2$$ $$rarr$$ Wurzelwert $$darr$$ Radikand Die $$n$$-te Wurzel $$root n (b)$$ der positiven reellen Zahl $$b$$ und der natürlichen Zahl $$n$$ ist die positive Zahl $$a$$, für die gilt $$a^n=b$$. Die Berechnung der $$n$$-ten Wurzel einer Zahl $$a$$ heißt Radizieren und ist die Umkehroperation zum Potenzieren. 1. Der Wurzelwert ist immer positiv. 2. Der Radikand ist immer positiv (oder $$0$$) Jetzt bist du fit, um Gleichungen mit Potenzen zu lösen. Gleichungen der Form $$x^n=b$$ mit natürlichen Zahlen $$n, n >=1,$$ und reellen Zahlen $$b$$ heißen Potenzgleichungen. Beispiel: $$x^3=27$$ Oder mit Umformung geschrieben: $$x^3=27$$ | $$root 3 ( )$$ $$x=root 3 (27)=3$$ $$x=3$$ Potenzgleichungen haben die Form $$x^n=b$$ mit $$n in NN$$ und $$n>=1$$. Alle reellen Zahlen $$a$$ mit $$a^n=b$$ sind Lösungen der Potenzgleichung.
kapiert.dekann mehr:
Potenzgleichungen $$x^n=b$$ lösenFür $$x^n=0$$ ist das schnell gemacht. Dann gibt es nur die Lösung $$x=0$$ für alle $$n$$, denn $$0^n=0$$ für alle natürlichen Zahlen $$n$$. Für $$b!=0$$ unterscheidest du zwischen Potenzgleichungen mit geraden und mit ungeraden Exponenten. Potenzgleichungen mit geraden ExponentenDie Potenzgleichung $$x^n=b$$ mit geradem $$n$$ hat nur dann eine Lösung, wenn $$b>=0$$, z. B. $$x^2!=-4$$ für alle $$x$$. Beispiel 1 Beispiel 2 Potenzgleichungen $$x^n=b$$ mit geraden natürlichen Zahlen $$n$$ haben für $$b in RR$$ und
Potenzgleichungen mit ungeraden ExponentenDie Potenzgleichung $$x^n=b$$ mit ungeradem $$n$$ hat für alle reellen Zahlen $$b$$ eine und nur eine Lösung.
Potenzgleichungen $$x^n=b$$ mit ungeraden natürlichen Zahlen $$n$$ haben für alle $$b in RR$$ eine Lösung und die Lösung für Für $$b<0$$ (2. Fall) kannst du nicht einfach auf beiden Seiten die $$n$$-te Wurzel ziehen, da die Wurzel nur aus nicht-negativen Zahlen gezogen werden kann. Die Wurzel $$root n (b)$$ ist für $$b<0$$ nicht definiert. „Erweiterte“ PotenzgleichungenManche Gleichungen kannst du durch äquivalente Umformungen in die Form $$x^n=b$$ überführen. Beispiel 1. Äquivalente Umformung $$2x^3-4=-10$$ $$|+4$$ $$2x^3=-6$$ $$|:2$$ $$x^3=-3$$ 2. Lösen der Potenzgleichung mit $$b<0$$ $$x^3=3$$ | $$root 3( )$$ $$rArr x=root 3 (3) $$ Lösung ursprüngliche Gleichung: $$x=-root 3 (3) approx -1,44$$ Bringe „erweiterte“ Potenzgleichungen immer erst in die Form $$x^n=b$$ und löse sie dann. Bei äquivalenter Umformung einer Gleichung ändern sich die Lösungen der Gleichung nicht. kapiert.dekann mehr:
Potenzgleichungen grafisch lösenZum grafischen Lösen von Potenzgleichungen der Form $$x^n=b (b in RR$$ und $$n in NN)$$ bringst du den Graphen einer Potenzfunktion ($$f(x)=x^n$$) und einer linearen Funktionen ($$g(x)=b$$) zum Schnitt.
Schnittpunkte der Graphen: $$S_1(-2,5|6,25)$$ und $$S_2(2,5|6,25)$$.
Schnittpunkt der Graphen: $$S(−2|8)$$ Potenzgleichungen der Form $$x^n=a$$ kannst du grafisch lösen, indem du die Graphen der Potenzfunktion $$f(x)=x^n$$ und der linearen Funktion $$g(x)=b$$ schneidest. Die $$x$$-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Lösungen der Potenzgleichung. Der Graph der linearen Funktion $$g(x)=b$$ ist eine Gerade parallel zur $$x$$-Achse. Und jetzt allgemeinGrafisch kannst du schön sehen, wie viele Lösungen Potenzgleichungen $$x^n=b$$ mit geradem und ungeradem Exponenten $$n$$ haben.
$$f(x)=x^n$$ mit $$n$$ gerade Es gibt entweder keine, einen oder 2 Schnittpunkte. Also keine, eine oder 2 Lösungen der Potenzgleichung.
$$f(x)=x^n$$ mit $$n$$ ungerade Es gibt immer einen Schnittpunkt der Potenzfunktion mit der Geraden. Also immer eine Lösung der Potenzgleichung. Wie rechnet man 2x hoch 2 aus?"Hoch 2" - einfach berechnet
Wenn Sie also eine Aufgabe mit "hoch 2" berechnen sollen, bedeutet dies, dass Sie die Basis einmal mit sich selbst multiplizieren müssen. Wenn Sie eine Quadratrechnung durchführen, bedeutet das für Sie, dass Sie mit Zahlen rechnen, die … So rechnet man 52 = 5 x 5 = 25.
Was ist hoch 2 hoch 2?Bei der Potenzschreibweise wird einfach der Faktor als Basis oder Grundzahl unten hingeschrieben und die Anzahl als Potenz oder Hochzahl oben. So wird 2 x 2 = 22 (sprich: "2 hoch 2" oder "2 zum Quadrat").
Was sind 2 mal X?Die Ziffer 2 steht für zwei, der Buchstabe x steht für mal, also kürzt man zweimal ohne Leerschritt ab.
Was ist X hoch 2 mal x hoch 3?x^2 * x^3 = x^5 , denn multipliziert man zwei potenzen mit gleicher Basis so werden die Exponenten addiert.
|