Wenn ein solches Experiment mehrmals hintereinander unter den gleichen Voraussetzungen durchgeführt wird, spricht man von einer Bernoulli-Kette. Dabei bedeutet „unter den gleichen Voraussetzungen“, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Es handelt sich hierbei um ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Show
Die beiden Ergebnisse können als „Treffer“ $T$ oder „Nicht-Treffer“ $\bar T$ bezeichnet werden. Die Wahrscheinlichkeit
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment kann mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden.  Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse berechnet werden:
Wie du siehst, kann aus den jeweiligen Termen die Anzahl der Treffer sowie der Nicht-Treffer abgelesen werden. Diese stehen jeweils im Exponenten der einzelnen Faktoren. Wie viele Möglichkeiten existieren, beispielsweise ein oder zwei Treffer zu bekommen, kannst du mithilfe der Kombinatorik bestimmen. Zur Berechnung wird der Binomialkoeffizient verwendet: $\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$ Die Formel von BernoulliMit diesem Binomialkoeffizienten kann die Formel von Bernoulli aufgestellt werden: $\quad~~\large{P(X=k)=B_{n;p}(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}$ Dabei steht
Der Binomialkoeffizient $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ gibt also die Anzahl aller möglichen Pfade der Länge $n$ an, die $k$ Treffer enthalten. Die BinomialverteilungDie Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dabei wird jedem $k$ (Anzahl der Treffer) die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ durch die Formel von Bernoulli zugeordnet: $\quad~~~P(X=k)=B_{n;p}(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$ Da die Anzahl der Treffer natürliche Zahlen sind, spricht man von einer diskreten Verteilung. Die Zufallsgröße $X$ heißt binomial verteilt. Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt. Die Grundgesamtheit ändert sich also im Laufe der Wiederholungen nicht, d.h. es handelt sich um ein „Ziehen mit Zurücklegen“. X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p:
Wahrscheinlichkeitsfunktion der BinomialverteilungDie Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt: \(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) für k=0, 1, ..,n Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient errechnet sich zu: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}\) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bei unterschiedlichen Grenzen Ungleichungen im Sprachgebrauch:
genau k Treffer\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)höchstens k Treffer\(P\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)weniger als k Treffer\(P\left( {X < k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mindestens k Treffer\(P\left( {X \ge k} \right) = 1 - P\left( {X \le k - 1} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mehr als k Treffer\(P\left( {X > k} \right) = 1 - P\left( {X \le k} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mindestens k aber höchstens m Treffer\(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \end{array}\) Illustration zur VeranschaulichungWahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern n=10 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,3 Laplace BedingungWenn die Laplace Bedingung \(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} > 3\) erfüllt ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Sigma-UmgebungenDer Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Streuung groß genug ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Um zu prüfen ob diese Näherung zulässig ist, verwendet man die Laplace Bedingung. Radius der Sigma Umgebung (also Vielfachen der Standardabweichung): Verteilungsfunktion der BinomialverteilungVerteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es höchstens k Treffer gibt: \(F\left( k \right) = P\left( {0 \le X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\) Erwartungswert der Binomialverteilung\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\) Erwartungswert der Binomialverteilung, |
Wann handelt es sich um eine Binomialverteilung?
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