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Select your languageSuggested languages for you:  Bearbeiten Vielleicht hast Du schon einmal mit einem Freund/einer Freundin oder mit Teilen Deiner Familie zusammen ganz klassisch Mensch ärgere Dich nicht gespielt. Irgendwie scheint es oftmals eine Person zu geben, die ständig auf das Spielfeld gelangt, oder große Schritte gehen kann. Er oder sie würfelt nämlich ziemlich oft die Augenzahl 6. Spaßeshalber hast Du gemeint, er/sie schummelt und hat den Würfel gezinkt. Doch was passiert beim Zinken eines Würfels und kennst Du schon die Begriffe Erwartungswert und Varianz? Zufallsgröße und Erwartungswert – WiederholungZu Beginn wirst Du Dich noch einmal mit wichtigem Wissen vertraut machen können, das sich auf den Erwartungswert und auf Zufallsgrößen allgemein bezieht. Damit besitzt Du dann das Rüstzeug, um Dich mit der Varianz und der Standardabweichung auseinanderzusetzen. ZufallsgrößeEine Zufallsvariable ordnet einer Ergebnismenge eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zu. Es gibt also einen Ergebnisraum für ein Zufallsexperiment, der beim Wurf eines Würfels zum Beispiel die Zahlen 1 bis sechs umfasst. Dabei trifft mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu. Die Zufallsgröße ordnet den möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zu. Wahrscheinlichkeit für die diskrete Zufallsgröße: Wahrscheinlichkeit für die stetige Zufallsgröße: Dabei unterscheidest Du die diskrete Zufallsgröße von der stetigen Zufallsgröße. Während diskrete Zufallsgrößen lediglich endlich viele Werte annehmen können, sind bei stetigen Zufallsgrößen grundsätzlich unendlich viele Werte möglich. Beispiele für diskrete Zufallsgrößen sind die Anzahl an Tagen in einem Jahr oder auch die Anzahl an Webseiten im Internet. Selbst wenn es dabei eine riesige Anzahl an Homepages gibt, ist die Zahl dennoch begrenzt. Anders ist das, wenn Du zum Beispiel die Uhrzeit betrachtest, die Dein Freund zu spät kommt. Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten zum Beispiel 10 Minuten darzustellen. Du könntest auch 600 Sekunden warten bzw. die Zeit auch in Millisekunden angeben und so weiter. Das ist also unendlich. 1. In einem Zufallsexperiment wirfst Du einmal eine Münze. Dabei kannst Du Kopf oder Zahl als Ausgang bekommen. Bestimme die diskrete Zufallsgröße. Dabei siehst Du Dir den Ergebnisraum dieses Experimentes an. Es ist also möglich, entweder Kopf oder Zahl zu werfen und das Ganze in einem einstufigen Experiment. Soll die Zufallsgröße X die Würfe mit Zahl betrachten, so gibt es hier zwei Ausgänge. Entweder Kopf oder Zahl. Angenommen Du bekommst Zahl: Somit hast Du bei einer geworfenen Zahl einmal eine Zahl erhalten, für Kopf jedoch 0. Die Wahrscheinlichkeit für das Zufallsexperiment lautet allgemein wie folgt:
Denn bei jedem Wurf kannst Du entweder Kopf oder Zahl werfen, also eine Wahrscheinlichkeit von jeweils . 2. Du füllst Dir eine Limonade in ein Glas. Dabei können die Werte der exakten Abfüllmenge abweichen, aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % wirst Du zwischen 480 und 515 ml einfüllen. In diesem Experiment gibt es keine diskreten Werte, weshalb Du die stetige Zufallsgröße verwendest. Somit lässt sich das gesamte Experiment in dieser Weise beschreiben: Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 90 Prozent, dass Du zwischen 480 und 515 ml in das Glas füllst. Nähere Informationen zu der Zufallsgröße erhältst Du in der Erklärung Zufallsgrößen. Außerdem wirst Du auch die Kombination zu Wahrscheinlichkeiten in der Erklärung Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung finden. Möchtest Du Dich nochmal allgemein darüber informieren, was ein Zufallsexperiment bedeutet, kannst Du in der vorgesehenen Erklärung vorbeisehen. Verwechsele auch nicht die Begriffe des Ergebnisses mit einem Ereignis, da das Ereigniseine Teilmenge eines Ergebnisses ist. Nochmals genauer erfährst Du den Unterschied diskrete und stetig Zufallsvariable in der dafür vorgesehenen Erklärung. Varianz – ErwartungswertDen Begriff des Erwartungswerts kannst Du eigentlich mit der Bedingung verknüpfen, dass ein Spiel fair sein soll, falls es darum geht, dass Du in einem Glücksspiel Geld gewinnen oder verlieren kannst. Dabei sollte der Erwartungswert bei 0 liegen. In der Praxis ist das allerdings oftmals nicht der Fall, da die Betreiber natürlich Gewinn machen wollen. DerErwartungswert einer Zufallsgröße X beschreibt den Mittelwert nach einer großen Anzahl an Wiederholungen eines Zufallsexperiments. Dabei lässt sich der Erwartungswert mit folgender Formel berechnen: Das bedeutet, bei einem Erwartungswert werden die Produkte aus dem Ergebnis mit dessen Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse aufsummiert. Hier siehst Du, wie Du diese Formel anwenden kannst: Bestimme den Erwartungswert für einen Laplace Würfel. Es sind für einen Wurf eines Würfels die Zahlen zwischen 1 bis 6 möglich, wobei jeder Ausgang gleich wahrscheinlich ist, nämlich . Es gibt also sechs Ereignisse von 1 bis 6. Dies entspricht den Werten für x. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit beträgt . Diese Multiplikation addierst Du danach auf. Dein Erwartungswert ist also folgender: Das bedeutet also, dass der Mittelwert Deiner Ergebnisse für einen Würfel bei 3,5 liegt. Varianz, Standardabweichung – DefinitionNun zurück zur Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Varianz – Definition und FormelBetrachtest Du eine Umfrage von verschiedenen Schülerinnen und Schülern, wie viel Sport sie insgesamt in der Woche treiben, wirst Du auf einen gewissen Mittelwert kommen. Da es aber eben auch nicht nur das Mittelmaß gibt, sondern auch Personen, die sehr viel Sport treiben oder auch diejenigen, die gar keinen Sport machen, gibt es davon eine Abweichung. Dabei ist die Varianz klein, falls alle Werte nahe am Erwartungswert liegen. Umgekehrt handelt es sich um eine große Varianz, wenn die Werte weit vom Erwartungswert liegen. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass Du eher an den Erwartungswert reichst.
In einer Stadt halten sich die meisten Autofahrer an die Beschränkung von 50 km/h, deshalb ist die Varianz für diese Geschwindigkeiten gering. Die sogenannte Standardabweichung liegt bei 0,5 für diese Funktion . In einer anderen Stadt halten sich nicht alle an die Geschwindigkeitsbegrenzung, einige wurden mit 3 km/h zu viel aus dem Verkehr gezogen, wie die Funktion zeigt. Hierbei ist also die Varianz und damit die Standardabweichung größer. Es gibt also mehr Fälle, die vom Erwartungswert 50 km/h abweichen. Für die Varianz kannst Du folgende Formel verwenden. Dabei beschreibt jeweils den Wert des Ergebnisses. Das Symbol steht für den Erwartungswert des Experimentes und für die jeweilige Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert bleibt dabei immer identisch, nur der Wert des Ergebnisses und dessen Wahrscheinlichkeit ändern sich jeweils. Varianz Bedeutung, Varianz Interpretation und StandardabweichungNeben der Varianz gibt es zusätzlich die Standardabweichung als tatsächliches Maß für die Abweichung des Erwartungswerts. Das bedeutet, erst mit der Standardabweichung wird die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert ermittelt. So würden Schwänze von verschiedenen Tieren unterschiedlich lang sein. Mit der Varianz würde die quadratische Abweichung ermittelt, mit der Standardabweichung aber der tatsächliche Wert für die durchschnittliche Abweichung in zum Beispiel Zentimetern. Varianz – RechenregelnFür die Varianz einer Zufallsgröße gelten bestimmte Regeln. Zum einen gilt die sogenannte lineare Transformation. Diese beschreibt in der Mathematik den Fakt, dass eine Konstante (wie ), die also keine Variable besitzt, keinen Einfluss auf die Streuung besitzt. Eine Konstante kann definitionsgemäß nicht streuen, sodass dieser Zusammenhang gilt: Auch bei einer Verschiebung der Zufallsvariablen um einen konstanten Betrag ändert sich nichts an dieser Streuung. Das kannst Du Dir wie die Steigung einer Geraden erklären, die sich bei einer Verschiebung in x- oder y-Richtung auch nicht ändert.
Werden Konstanten zu der Varianzeiner Zufallsgröße hinzugefügt oder abgezogen, ändert sich dabei nicht die Varianz. Es handelt sich hierbei lediglich um eine Verschiebung der Funktion in x- oder y-Richtung. Varianz einer diskreten ZufallsgrößeDie Varianz für diskrete Zufallsgrößen entspricht sozusagen der Definition für eine Varianz allgemein. Dabei wird die Varianz für eine diskrete Zufallsgröße X und einem Erwartungswert , bzw. und der jeweiligen Wahrscheinlichkeit berechnet wie in der Eingangsformel. Dabei sind die Wahrscheinlichkeiten für die Werte der Zufallsgröße X entscheidend für die jeweilige Stelle . Die Varianz ist also die Summe der Produkte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit mit dem Wert und dem Erwartungswert. Am besten lässt sich das am Beispiel des Würfelwurfs bestimmen. Aufgabe 1 Du wirfst einen Würfel einmal. Bestimme den Erwartungswert, die Varianz und daraus resultierend die Standardabweichung. Lösung Der Erwartungswert eines Würfelwurfs wurde bereits in einer vorherigen Aufgabe berechnet. Nun kannst Du die Formel verwenden, um mit dem Erwartungswert von 3,5 die Varianz zu berechnen. Dabei entsprechen die Variablen den Ereignissen 1 bis 6. ist der ermittelte Erwartungswert, wobei die Wahrscheinlichkeit ist, wie dieses Ereignis auftritt, also jeweils bei sechs Flächen des Laplace Würfels. Die Standardabweichung berechnet sich über die Wurzel der Varianz. Also ergibt sich insgesamt: Die Standardabweichung ist also 1,71. Varianz GleichverteilungDas Beispiel eines Würfels oder das Warten auf Deinen Freund/Deine Freundin vor dem Kino sind zwar beide gleichverteilt, allerdings gibt es sie in diskreter und stetiger Ausprägung. Gleichverteilt bedeutet, die Zufallsvariable ist bei jedem Durchgang gleich groß. Varianz Gleichverteilung – diskretWie bereits eingangs in der Wiederholung erwähnt, gibt es für eine Zufallsvariable den diskreten und den stetigen Fall. Der diskrete Fall ist vor allem das Alter einer Person in Jahren, das klar abzählbar ist. Auch für das Werfen eines Würfels kannst Du jeweils erkennen, dass es immer wieder dieselbe Wahrscheinlichkeit gibt, eine konkrete Zahl zu werfen, nämlich . Das bedeutet also, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die jeweiligen Werte konstant ist. Wichtig ist dabei, dass die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für jeden weiteren Fall weiter aufaddiert werden. Das bedeutet, die eins zu werfen, hat die Wahrscheinlichkeit und für den nächsten Fall hast Du bereits bis hin zur Wahrscheinlichkeit 1. Der Erwartungswert, wie auch die Varianz entspricht dabei denselben Werten, wie Du sie im vorherigen Kapitel gesehen hast. Varianz Gleichverteilung – stetigStetige Zufallsgrößen haben dabei immer die Bedingung, dass Werte nicht mehr vollständig abzählbar sind. Die Uhrzeit ist so ein Beispiel, da Du auf ein Ereignis zum Beispiel 7 Minuten, aber auch rein theoretisch 7,23234 Minuten wartest, weshalb es unendlich viele Werte gibt. Stell Dir vor, Dein Freund/Deine Freundin hat angekündigt, dass er oder sie in spätestens 20 Minuten ankommen wird. Bis zum Ende dieser 20 Minuten ist es also nahezu zu 100 % wahrscheinlich, dass Eure Aktivität starten kann. Für jeden Augenblick innerhalb dieser Zeit gibt es eine Wahrscheinlichkeit von , dass Dein Freund/Deine Freundin ankommt.
Die Dichtefunktion der Gleichverteilung betrachtet für jeden Zeitabschnitt genau diese Wahrscheinlichkeit, während die sogenannte Verteilungsfunktion linear vom Wert 0 bei Minute 0 bis hin zu 100 % nach 20 Minuten anwächst, was bedeutet, dass das Eintreffen immer wahrscheinlicher wird. Nähere Informationen allgemein zur stetigen und diskreten Gleichverteilung findest Du in dieser Erklärung. Auch hierbei wird Dir die Varianz näher erläutert. Für den Erwartungswert und die Varianz in diesem Fall betrachtest Du die Variablen a und b als Grenzen für das Zufallsexperiment, in diesem Fall die Zeit beginnend bei 0 bis hin zu 20 Minuten. Varianz – BinomialverteilungEine Binomialverteilung nach Jakob Bernoulli ist ein Zufallsexperiment, bei dem n-mal ein Experiment ausgeführt wird. Dabei ist entscheidend, dass...
Typisch dafür ist das sogenannte Bernoulli-Experiment für das Werfen einer Münze. Hier gibt es für jeden Versuch nur zwei Möglichkeiten "Kopf" oder "Zahl" und der Wurf beeinflusst nicht den Wurf. Ein Bernoulli-Experiment besitzt auch eine Varianz, die in diesem Fall in Zusammenhang mit der Binomialverteilung definiert wird. Die Varianzder binomialverteilten Zufallsgröße entspricht der Formel:
Eine Zufallsgröße X wird in der Stochastik als binomialverteilt bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeiten über die Werte k bis n jeweils dem Folgenden entsprechen: In der Formel für die Binomialverteilung entspricht n dabei der kompletten Anzahl an Objekten, die zur Verfügung stehen und k, wie viele betrachtet werden. Das kann zum Beispiel das Ziehen von Kugeln aus einer Urne sein. Aufgabe 2 Es werden 5 von 10 Kugeln aus einer Urne gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Zug eine grüne Kugel zu ziehen, liegt dabei bei . a) Bestimme die Binomialverteilung. b) Bestimme die Varianz dazu. Lösung a) Hierbei entspricht k dem Wert 5 und n sind alle möglichen Kugeln, die für jeden Durchgang gezogen werden können, also 10. Es gibt in der Urne also 3 grüne Kugeln und 7 weitere in einer anderen Farbe. Setze in die Wahrscheinlichkeitsfunktion die Werte ein. Die Wahrscheinlichkeit, bei 5 von 10 Kugeln jeweils eine grüne Kugel zu ziehen, liegt also bei 10 Prozent. b) Die Varianz kannst Du auch über die Formel aus der Definition berechnen: Varianz einer geometrisch verteilten ZufallsgrößeDie Geometrische Verteilung ist ebenso ein Bernoulli Experiment, bei dem mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p dieses Experiment immer wieder wiederholt wird, bis der Erfolg eintritt. Das könnte grundsätzlich auch unendlich lange gehen. Eine Zufallsgröße X wird als geometrisch verteilt bezeichnet, falls für alle Werte die Wahrscheinlichkeit gilt. Diesen Zusammenhang kannst Du unter anderem für einen bestimmten Fall auch in einem Diagramm modellieren.
Die Varianz der Zufallsgröße lässt sich über die folgende Formel ermitteln. Aufgaben zu Erwartungswert und VarianzNun kannst Du Dein Wissen praktisch testen, um die Varianzen für verschiedene Funktionen zu bestimmen. Viel Spaß! Aufgabe 3 Stell Dir vor, Du stehst am Stand eines Jahrmarktes, bei dem Du auch würfeln kannst, wobei Du für die Augenzahl 5 zwei Euro gewinnst und für die Augenzahl 6 drei Euro. Allerdings wirst Du bei den Zahlen 1 bis 4 jeweils zwei Euro bezahlen. Nun würfelst Du einmal. Ist das Spiel fair? a) Ermittle den Erwartungswert (am besten auch mit einer Tabelle dazu). b) Bestimme die Varianz der Zufallsgröße für die Geldbeträge. c) Bestimme die Standardabweichung für die Geldbeträge. Lösung a) Dabei kannst Du nun zum Beispiel auch eine Tabelle erstellen, ist allerdings nicht zwingend notwendig.
Anstelle des jeweiligen Ereignisses interessiert Dich hierbei nun die konkreten Geldbeträge, die Du für die Ergebnisse gewinnst oder verlierst. Der Erwartungswert berechnet sich also hiermit. Das bedeutet, das Spiel ist nicht ganz fair, weil Du pro Spiel wahrscheinlich jeweils 50 Cent verlieren wirst, da der Erwartungswert bei -0,5 liegt. b) Die Varianz bestimmst Du über die Formel für diskrete Zufallsvariablen. Du brauchst dabei diese Formel nicht unbedingt in dieser Form anzugeben, wichtig ist nur die Anwendung. Also setzt Du jeweils die Werte für den Würfel 1 bis 6, sowie den gerade ermittelten Erwartungswert und die Wahrscheinlichkeit für jede Seite des Würfels ein. c) Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Aufgabe 4 Du wartest mal wieder auf den Zug nach Hause, wobei Dir die elektronische Durchsage berichtet hat, dass der Zug statt um 12 Uhr erst um spätestens 12:25 Uhr fährt. Das bedeutet, der Zug könnte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch früher ankommen. Nähere Informationen kann das Bahnunternehmen allerdings nicht machen. Alle Angaben sind nun in Minuten anzugeben. a) Berechne den Erwartungswert. b) Berechne die Varianz. Lösung a) Den Erwartungswert bestimmst Du über die nachfolgende Formel.
Da Du in Minuten rechnest, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Zug innerhalb dieser Zeit ankommen wird, kannst Du für a den Wert 0 verwenden. Der Zug wird voraussichtlich 25 Minuten Verspätung haben, also besitzt b diesen Wert. b) Die Varianz für eine stetige gleichverteilte Zufallsgröße bestimmst Du hiermit: Die Varianz ist also groß, was etwa einer Varianz von entspricht. Varianz einer Zufallsgröße - Das WichtigsteHäufig gestellte Fragen zum Thema VarianzDie Varianz ist die quadratische Abweichung vom Erwartungswert eines Zufallsexperiments in der Stochastik. Dabei ist der Erwartungswert der erwartete Mittelwert der Ergebnisse. Die Standardabweichung ist die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert und die Wurzel der Varianz. Die Varianz ist die quadratische Abweichung von einem Mittelwert, bzw. dem Erwartungswert. Besitzen verschiedene Tiere einen Schwanz mit der durchschnittlichen Länge 10 cm, dann gibt es Tiere, deren Schwanz länger oder kürzer ist. Die durchschnittliche Abweichung von diesem Wert ist dann die Standardabweichung, also die Wurzel der Varianz. Du berechnest die Varianz, indem Du den Erwartungswert in einem Zufallsexperiment ermittelst. Danach wird der Erwartungswert jeweils von dem Wert des Ergebnisses subtrahiert und zusammen quadriert. Dies wird jeweils für jedes Ergebnis mit diesem multipliziert und die Summe gebildet. Eine große Varianz sagt aus, dass verschiedene Werte stark vom Mittelwert bzw. dem Erwartungswert abweichen. So würden zum Beispiel in einer Stadt etliche Autofahrer sehr langsam, bzw. mit einer zu hohe Geschwindigkeit fahren. Finales Varianz Quiz
Frage Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung der gegebenen Häufigkeitsverteilungen. Antwort Verteilung A: X̅ = 3 s = 7,88 Verteilung B: X̅ = 3 s = 2,12
Frage Marc Wettermann arbeit als Meteorologe beim Fernsehen. Zu seinen Aufgaben gehört es statistische Daten des Wetters zu erheben. Darunter versteht sein Arbeitgeber den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung. Für eine Woche erhält er folgende Werte der Temperatur (Runde auf zwei Stellen nach dem Komma): Montag: 6,4°C Dienstag: 6,3°C Mittwoch: 4,2°C Donnerstag: 5,0°C Freitag: 7,3°C Samstag: 3,2°C Sonntag: 5,1°C Bestimme die geforderten Werte für die Woche. Marc gibt diese Aufgabe an seine drei Mitarbeiter, die mit verschiedenen Werten wiederkommen. Welcher der Mitarbeiter hat recht? Antwort Mittelwert: 1,41°C Varianz: 1,31 Standardabweichung: 1,71°C
Frage Varianz einer Binomialverteilung! Ein Glücksrad mit vier gleichgroßen Feldern (rot, blau, gelb, grün) wird 20-mal gedreht. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gedrehten blauen Felder an. Berechne die Varianz dieser Zufallsvariablen!
Frage Varianz einer Binomialverteilung Ein Biathlet trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Treffer. Bestimme die Varianz bei 20 Schüssen! Wie verändert sich die Varianz bei doppelt so vielen Schüssen?
Frage Du fährst jeden Tag mit dem Bus in die Schule und schreibst dir jeden Tag auf, wie viel Verspätung der Bus hat. Du erhälst folgende Werte: Tag 1: 6 Minuten Tag 2: 1 Minute Tag 3: 4 Minuten Tag 4: 2 Minuten Tag 5: 7 Minuten
Antwort
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 6, 9, 10, 8, 7 b. 1,1; 0,9; 1,3; 1,3; 1,4 c. 20, 18, 16, 22, 21, 17 Antwort a. D=8 ; V= 2 b. D=1,2 ; V=0,032 c. D=19 ; V=4,67
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 1, 3, 2, 2.5, 1, 2,5 b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4, 0.5 c. 25, 26, 23, 23, 24, 23 Antwort a. D=2 V=0,583 b. D=0,5 V=0,01 c. D=24 V=1,33
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 0, 0, 1, 2, 0, 3 b. 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0.6, 0.4 c. 50, 53, 51, 52, 50, 50 Antwort a. D=1 V=1,33 b. D=0,7 V=0,0266 c. D=51 V=1,33
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 2, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1 b. 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.2 c. 20, 21, 18, 18, 23, 20 Antwort a. D=2 S=0,866 b. D=0.2 S=0,063 c. D=20 S=1,73
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 3, 5, 1, 2, 2, 5 b. 0.8, 0.7, 0.9, 0.9, 0.7 c. 50, 55, 53, 52, 40, 50 Antwort a. D=3 S=1,58 b. D=0,8 S=0,089 c. D=50 S=4,8
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 5, 6, 4, 8, 5, 8 b. 0.5, 0.6, 0.6, 0.5, 0.8 c. 55, 65, 65, 75, 60, 70 Antwort a. D=6 S=1,53 b. D=0,6 S=0,11 c. D=65 S=6,45
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 7, 12, 9, 12, 11, 9 b. 0.4, 0.4, 0.5, 0.4, 0.3 c. 89, 95, 88, 87, 91, 90 Antwort a. D=10 S=1,83 b. D=0,4 S=0,063 c. D=90 S= 2,58
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 8, 9, 10, 6, 7, 8 b. 0.1, 0, 0.2, 0.2, 0 c. 71, 72, 77, 77, 78, 75 Antwort a. D=8 S=1,29 b. D=0,1 S=0,089 c. D=75 S=2,65
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 2; 1; 3; 5; 6; 7 b. 51; 58; 55; 59; 52 c. 14; 18; 15; 17; 19; 21; 22 Antwort a. D = 4 V = 4,67 b. D = 55 V = 10 c. D = 18 V = 4,43
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 2, 3, 5, 2, 4, 2 b. 0,3; 0,4; 0,5; 0,5; 0,3 c. 28; 27, 29, 31, 30, 29 Antwort a. D=3 S=1,154 b. D= 0,4 S=0,089 c. D=29 S=1,29
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 7, 8, 6, 5, 9, 7 b. 0,7; 0,8; 0,7; 0,6; 0,7 c. 33; 35; 34; 36; 32; 34 Antwort a. D=7 S=1,29 b. D=0,7 S=0,063 C: D=34 S=1,29
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 6, 10, 3, 7, 4, 6 b. 0,01; 0,05; 0,04; 0,06; 0,04 c. 82, 84, 83, 85, 82, 88 Antwort a. D=6 S=2,24 b. D=0,04 S=0,0167 c. D=84 S=2,08
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 5, 6, 4, 6, 5, 4 b. 0,5; 0,3; 0,8; 0,7; 0,2 c. 66; 68; 65; 65; 67; 65 Antwort a. D=5 S=0,816 b. D= 0,5 S=0,51 c. D=66 S=1,154
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 3; 5; 6; 2; 4; 4 b. 50; 56; 48; 47; 49 c. 10,0; 10,5; 10,2; 10,3; 10,2; 10,3 Antwort a. D=4 V=1,67 b. D=50 V=10 c. D=10,25 V=0,0225
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 5, 4, 6, 5, 7, 3 b. 51, 55, 53, 56, 53, 50 c. 1,5; 1,8; 1,6; 1,6; 1,4; 1,7 Antwort a. D=5 V=1,67 b. D=53 V=4,33 c. D=1,6 V=0,1
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 6, 5, 5, 8, 4, 8 b. 72, 73, 76, 77, 77 c. 2,5; 2,6; 2,8; 2,3; 2,3; 2,5 Antwort a. D=6 V=2,33 b. D=75 V=4,4 d. D=2,5 V=0,03
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 7, 5, 5, 7, 6, 6 b. 65, 64, 66, 67, 63 c. 1,4; 1,35; 1,4; 1,35; 1,5 Antwort a. D=6 V=0,67 b. D=65 V=2 c. D=1,4 V=0,003
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 5, 6, 5, 4, 7, 3 b. 1,5; 1,6; 1,5; 1,4; 1,5; 1,5 c. 72, 75, 75, 76, 73, 73 Antwort a. D= 5 V= 1,67 b. D= 1,5 V= 0,0033 c. D= 74 V= 2
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 2, 3, 2, 2, 3, 0 b. 0,4; 0,6; 0,5; 0,8; 0,3; 0,4 c. 55, 56, 58, 53, 52, 56 Antwort a. D=2 V= 1 b. D=0,5 V= 0,0267 c. D=55 V=4
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 0; 0,5; 0,8; 1,3; 1,4; 2 b. 5, 6, 5, 8, 3, 3 c. 100, 103, 102, 105, 95, Antwort a. D=1 V= 0,2567 b. D=5 V=3 c. D=101 V=11,6
Frage Ein fairer Würfel wird geworfen. Berechne die Varianz, wenn der Würfel
Frage In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird mit zurücklegen gezogen. Sei X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Berechne die Varianz von X, wenn
Frage Ein Glücksrad hat einen roten Sektor und einen blauen Sektor. Der rote Sektor hat eine Größe von p (0<p<1), der blaue eine Größe von 1 -p. Das Rad wird einmal gedreht. Sei X eine Zufallsvariable mit X= 1, wenn das Rad rot zeigt, und 0, wenn es Blau zeigt.
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Frage Der Notenspiegel bei einer Klausur sieht wiefolgt aus: 4 Schüler haben eine 1, 7 Schüler eine 2, 6 Schüler eine 3, 5 Schüler eine 4 und 3 Schüler haben eine 5.
Antwort
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 5, 7, 7, 8, 8 b. 2,0; 2,5; 2,4; 2,0; 2,1; 2,2 c. 34; 33; 34; 35; 33; 35 Antwort a. D=7 ; V=1,2 b. D=2,2 ; V=0,0367 c. D=34 ; V=0,67
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 3, 5, 9, 5, 3 b. 1,5 ; 1,7; 1,4; 1,5; 1,3; 1,6 c. 41, 45, 46, 42, 42, 42 Antwort a. D=5; V=4,8 b. D=1,5; V=0,0167 c. D=43; V=3,33
Frage Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) a. 5, 6, 7, 5, 7 b. 2,2; 1,7; 2,0; 2,2; 1,9; 2,0 c. 33, 35, 36, 34, 33, 33 Antwort a, D=6 ; V=0,8 b. D=2,0 ; V=0,03 c. D=34 ; V=1,33
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 3, 2, 5, 4, 3, 7 b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4 c. 33, 35, 36, 36, 34, 36 Antwort a. D=4 ; S=1,63 b. D=0,5 ; S=0,11 c. D=35 ; S=1,15
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 5, 7, 6, 8, 4 b. 0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.1, 0.2 c. 44, 38, 39, 39, 42, 38 Antwort a. D=6 ; S=1,41 b. D=0,2 ; S=0,082 c. D=40 ; S=2,24
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 6, 6, 8, 5, 5 b. 0.5, 1.5, 1.5, 1.0, 1.0 , 0.5 c. 55, 56, 52, 56, 55, 56 Antwort a. D=6 ; S=1,095 b. D=1 ; S=0,41 c. D=55 ; S=1,41
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 2, 8, 5, 7, 3 b. 0.7, 0.8, 0.9, 0.7, 0.7, 1 c. 85, 84, 89, 86, 88, 84 Antwort a. D=5 : S=2,28 b. D=0,8 ; S=0,15 c. D=86 S=1,91
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 9, 9, 3, 2, 2 b. 1.3, 1.2, 1.4, 1.5, 1.2, 1.2 c. 66, 68, 60, 66, 64, 66 Antwort a. D=5 ; S=3,49 b. D=1,3 ; S=0,115 c. D=65 ; S=2,52
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 9, 7, 3, 0, 1 b. 1.5, 1.6, 1.6, 1.3, 1.5, 1.5 c. 74, 76, 75, 72, 76, 77 Antwort a. D=4 ; S=3,46 b. D=1,5 ; S=0,1 c. D=75 ; S=1,63
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 5, 3, 6, 6, 5 b. 1.4, 1.8, 1.7, 1.5, 1.5, 1.7 c. 85, 88, 85, 86, 89, 89 Antwort a. D=5 ; S=1,41 b. D=1.6 ; S=0,41 c. D=87 ; S=1,73
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 3, 6, 3, 5, 3 b. 3.5, 3,6, 3.2, 3.8, 3.4, 3.5 c. 95, 98, 90, 97, 93, 97 Antwort a. D=4 ; S=1,26 b. D=3.5 ; S=0,18 c. D=95 ; S=2,77
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 10, 15, 7, 7, 11 b. 2.3, 2.1, 2.4, 2.5, 2.2, 2.3 c. 67, 68, 63, 67, 64, 67 Antwort a. D=10 ; S=2,97 b. D=2,3 ; S=0,13 c. D=66 ; S=1,83
Frage Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen a. 12, 7, 6, 9, 6 b. 1.8, 1.9, 2.2, 2.2, 2.1, 1.8 c. 72, 75, 73, 75, 74, 75 Antwort a. D=8 ; S=2,28 b. D=2,0 ; S=0,17 c. D=74 ; S=1,15 Finde passende Lernmaterialien für deine FächerAlles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!LernplanSei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen. QuizzesTeste dein Wissen mit spielerischen Quizzes. KarteikartenErstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit. NotizenErstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor. Lern-SetsHab all deine Lermaterialien an einem Ort. DokumenteLade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei. Lern StatistikenKenne deine Schwächen und Stärken. WöchentlicheZiele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte. Smart RemindersNie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen. TrophäenSammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen. Magic MarkerLass dir Karteikarten automatisch erstellen. Smartes FormatierenErstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen. Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free. This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Annehmen Privacy & Cookies Policy Ist die Varianz der Erwartungswert?Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert μ in der Stochastik. Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen zum Erwartungswert. Die Varianz einer Zufallsgröße ist eng mit ihrer Standardabweichung verknüpft.
Wie interpretiert man die Varianz?Die Varianz gibt also an wie weit sich die Daten im Schnitt vom Mittelwert unterscheiden. Um so größer die Varianz umso weiter liegen die Daten vom Mittelwert entfernt. Wobei xˉ den Mittelwert darstellt. Wenn der Wert nun kleiner als der Durchschnitt ist fällt die Abweichung negativ aus.
Wann ist Erwartungswert gleich Mittelwert?Der Erwartungswert ist der Mittelwert, wenn du ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholst.
Wann ist die Varianz gleich Null?Die Varianz einer Zufallsvariable ist immer ≥ 0. Für eine konstante Zufallsvariable X = c gilt VarX = 0.
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Was wenn erwartungswert gleich varianz
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