Wer hat den Satz des Pythagoras erfunden?

Das Leben des Pythagoras.

Name: Pythagoras von Samos

Geboren: *um 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos

Gestorben: †um 480 v. Chr. in Metapont am Golf von Tarent

Mathematische Erkenntnisse:

1. erkannte den Flächensatz im rechtwinkligen Dreieck
2. beschäftigte sich mit der Zahlentheorie und Entdeckung des Irrationalen
3. untersuchte das Verhältnis ganzer positiver Zahlen untereinander und entwickelte dabei er den nach ihm benannten Satz

vgl. Affolter, Beerli, Hurschler, Jaggi, Jundt, Krummenacher, Nydegger, Wälti, Wieland (2008). mathebu.ch8.   1. Auflage, Bern: schulverlag vlmv AG, Zug: Klett und Balmer Verlag
vgl. Weber (2009). Mathematik Formelknacker. 1. Auflage, Berlin: Cornelsen Verlag

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Ein neues Zuhause und zugleich einen Förderer fand PYTHAGORAS in der griechischen Kolonie Kroton in Süditalien. Dort gründete er den Geheimbund der Pythagoreer, dessen Mitglieder strengen Regeln unterworfen waren. Bei ihrer Aufnahme mussten sie alles persönliche Habe an den Bund abtreten, auch durften sie kein Fleisch essen, keinen Wein trinken und keine wollene Kleidung tragen. Außenstehenden durften sie nichts über ihre Gemeinschaft und die Ergebnisse ihres Forschens mitteilen. Die Pythagoreer glaubten an die Seelenwanderung und hüteten sich deshalb, Tiere zu töten. Das große Ziel der Gemeinschaft war es, den Aufbau der Welt zu ergründen und die Geheimnisse der Natur zu entschleiern. In diesem Zusammenhang soll PYTHAGORAS auch den Begriff Philosoph (d.h. Freund der Weisheit) geprägt haben.

Die Pythagoreer waren der Auffassung, dass es notwendig sei, möglichst viele Erscheinungen zahlenmäßig zu erfassen. „Alles ist Zahl“, war ihr Grundsatz, wobei sie unter „Zahl“ nur natürliche Zahlen und die aus ihnen zu bildenden Verhältnisse (wir würden heute dazu „Brüche“ sagen) verstanden. Sie untersuchten die Zahlen und Beziehungen zwischen ihnen, unterschieden gerade und ungerade Zahlen, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen (letztere nannten sie „körperliche Zahlen“) und begründeten die Teilbarkeitslehre. Manche ihrer Entdeckungen bestärkten sie in ihrer Auffassung von der grundlegenden Bedeutung der Zahlen.

Zum Beispiel suchte man nach Zahlen, die gleich der Summe ihrer echten Teiler sind. Man nannte sie „vollkommene Zahlen“. Die beiden kleinsten Zahlen dieser Art sind 6 und 28 (wegen 1+2+3=6 bzw. 1+2+4+7+14=28). Man fand diese Zahlen in der Natur wieder: Der Überlieferung nach war die Erde in sechs Tagen geschaffen worden, und der Mond umkreist die Erde in 28 Tagen. (Übrigens stellte sich heraus, dass solche Zahlen sich auch als Teilsummen der Folge der natürlichen Zahlen ergeben: Es ist 28=1+2+3+4+5+6+7, und die Summe der Zahlen von 1 bis 31 liefert die nächste vollkommene Zahl 496).

Auch die Tatsache, dass Dreiecke, deren Seitenlängen im Verhältnis 3 : 4 : 5 stehen, immer rechtwinklig sind, fügte sich in die Grundauffassungen der Pythagoreer ein. Bei ihrer Suche stießen sie auch auf die Tatsache, dass sich aus Saitenlängen, die in einem einfachen Verhältnis stehen, harmonische Töne ergeben, so z.B. bei dem Verhältnis 1 : 2 die Oktave, bei 2 : 3 die Quinte und bei 3 : 4 die Quarte. Es wird berichtet, dass PYTHAGORAS auf den Gedanken kam, solche Zusammenhänge zu untersuchen, als er an einer Schmiede vorbeikam, in der das Zusammenspiel einiger Hämmer einen Wohlklang ergab (nämlich dann, wenn die Massen der Hämmer harmonisierten), in anderen Fällen jedoch einen Missklang erzeugte. Dergleichen ist möglicherweise nur Legende, wie überhaupt nicht festzustellen ist, welche Entdeckungen auf PYTHAGORAS, welche auf seine Schüler zurückgehen und welche die Pythagoreer von anderen übernommen hatten.

In vielen Hochkulturen war der Lehrsatz bereits vor Lebzeiten Pythagoras bekannt. Beispielsweise war in Ägypten schon zur Zeit des Königs Amenat I. (um 2300 v. Chr.) das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 bekannt. Dieses Wissen hatten auch die Babylonier (1800 v. Chr.) schon. Bewiesen wurde der Satz unter anderem von dem indischen Mathematiker Bhaskara (1150 n. Chr.). Bhaskara kam dabei mit Mitteln aus, die bereits den Babyloniern bekannt waren.
Offensichtlich war Pythagoras also nicht der Erste, dem diese Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck aufgefallen waren, dennoch wurde ihm die Entdeckung von Euklid zugeschrieben.

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, gab es in Ägypten die sogenannten "Seilspanner". Diese hatten die Aufgabe rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen 3, 4, 5 zu konstruieren. Dazu bedienten sie sich eines 12 Längeneinheiten langen Seils, das im Abstand einer Längeneinheit einen Knoten hatte und an beiden Enden zusammen geknotet wurde. Wird das Seil nun am ersten, vierten und achten Knoten festgehalten und gespannt, entsteht am vierten Knoten ein rechter Winkel.
Dabei verwendeten die "Seilspanner" zwar nicht den Lehrsatz des Pythagoras, sehr wohl jedoch seine Umkehrung. Denn sie gehen von der Gleichung 32 + 42 = 52 aus und folgern daraus, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Es ist also offensichtlich, dass die Umkehrung des pythagoräischen Lehrsatzes älter ist als der Satz selbst.

Diese besonderen Seitenlängen 3, 4, 5 bilden ein sogenanntes "Pythagoräisches Tripel". Das bedeutet, dass ein Dreieck mit diesen Seitenlängen immer ein rechtwinkliges Dreieck sein wird, und dass diese Tripel die Formel a2 + b2 = c2 erfüllen.
Es gibt auch noch andere (unendlich viele) Pythagoräische Tripel, wie zum Beispiel die Zahlen 5, 12, und 13. Auch die jeweiligen Vielfachen dieser Tripel sind wieder Pythagoräische Tripel, wie z.B. 6, 8, und 10. Kann man die Tripel allerdings nicht mehr durch Dividieren verkleinern, wie (3, 4, 5), (5, 12, 13) oder (45, 28, 53), nennt man sie "primitive Pythagoräische Tripel".

Dieser Link führt Dich zu einer Übung, die das Prinzip der Seilspanner veranschaulicht.

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