Wenn du prüfen möchtest, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, musst du die Quersumme ausrechnen. Ist sie durch 3 teilbar, muss 3 ein Teiler der ursprünglichen Zahl sein. Show
Mit einem Beispiel verstehst du das ganz schnell. Ist die Zahl 6882 durch 3 teilbar? Zuerst musst du die Quersumme berechnen. Dafür addierst du 6, 8, 8 und 2. Das ergibt 24. 6882 → 6 + 8 + 8 + 2 = 24 Als nächstes musst du schauen, ob 24 durch 3 teilbar ist. 24 kannst du tatsächlich durch 3 teilen: Das ergibt dann 8. 24 : 3 = 8 Wenn die Ziffernsumme von 6882 durch 3 teilbar ist, gilt das auch für die 6882. 6882 : 3 = 2294 Merke: Eine Zahl geteilt durch 3 ist nicht das gleiche wie ihre Quersumme geteilt durch 3. Quersummenregel – Teilbarkeit durch 6 Eine ähnliche Teilbarkeitsregel gibt es auch für die Zahl 6. Du musst prüfen, ob die Quersumme durch 3 teilbar und gleichzeitig gerade (also durch 2 teilbar) ist. Wie wäre es mit noch einem Beispiel: Ist 822 durch 6 teilbar? Für die Quersummenregel musst du wieder die Quersumme berechnen. Bei 822 beträgt sie 12. 822 → 8 + 2 + 2 = 12 12 ist natürlich durch 6 teilbar. 12 : 6 = 2 Damit 822 durch 6 teilbar ist, muss die Ziffernsumme
Das trifft auf 12 zu. 6 ist also ein Teiler von 822. 822 : 6 = 137 Quersummenregel – Teilbarkeit durch 9 Die Regel funktioniert wie die Quersummenregel für 3. Wenn deine Quersumme durch 9 teilbar ist, dann kannst du auch deine Zahl durch 9 teilen. Schaue dir zum Beispiel die Zahl 954 an. Ist sie durch 9 teilbar? Rechne zuerst die Ziffernsumme aus. Sie ist gleich 18. 954 → 9 + 5 + 4 = 18 18 ist durch 9 teilbar (18:9=2). 9 ist also ein Teiler von 954. 954 : 9 = 106 Du bist gerade auf der Suche nach einem dualen Studium oder Ausbildungsplatz? Wir von Studyflix helfen dir weiter. Im Studyflix Ausbildungsportal warten über 30.000 freie Plätze auf dich. Schau doch mal vorbei. Du willst wissen, wofür du das Thema Quersumme lernst? Über das Studyflix Jobportal kannst du dich auf die Suche nach Praxiserfahrung begeben. Hier warten über 30.000 Praktika, Werkstudentenstellen, Einstiegsjobs und auch Abschlussarbeiten auf dich. Schau doch mal vorbei. 365 Tage im Jahr rechnest Du im Alltag und im Matheunterricht mit Zahlen. Heute allerdings sind diese Zahlen nicht nur irgendwelche Zahlen, sie werden quer gelesen und es wird eine Summe daraus berechnet. Mithilfe der Quersumme werden Zahlen mal aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und dabei nützliche Hilfestellungen für das Bruchrechnen und Dividieren gebildet. Abbildung 1: Quersumme Was ist eine Quersumme? – DefinitionWie der Name Quersumme schon sagt, arbeitest Du Dich quer durch die Zahl (von links nach rechts) und summierst dabei alle einzelnen Ziffern der Zahl miteinander. Die Quersumme Q(n) ist die Summe aller Ziffern einer Zahl n. Am Beispiel der Zahl 124 kannst Du Dich einmal quer durcharbeiten. Um die Quersumme Q der Zahlzu bilden, kannst Du Dich an ihrem Namen orientieren. Quer – Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf. Summe – Bilde die Summe dieser Ziffern. Schon ist die Quersumme der Zahl 124 gefunden. Sie beträgt Q=7. Mit jeder anderen Zahl klappt das ganz genauso. Aufgabe 1 Bilde die Quersumme der Zahl... . Lösung Zu 1. Auch diese große Zahl wird zunächst quer, mit Abstand zwischen den Zahlen, hingeschrieben. Weiter geht es, indem Du Pluszeichen zwischen die Zahlen einfügst und somit die Summe dieser Zahlen bildest. Zu 2. Quer und mit Abstand aufschreiben. Summe der Ziffern bilden. Zu 3. Und ein weiteres Mal: Quer Aufschreiben und dabei ein wenig Abstand lassen. Pluszeichen einfügen und die Summe der Zahlen bilden. Bei dem Ergebnis einer Quersummehandelt es sich immer um natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen). Eine Ausnahme gibt es bei negativen Zahlen (siehe unten). Quersumme bilden – RegelnFür ein paar besondere Fälle der Quersummenbildung gelten folgende Regeln. Quersumme von einzelnen ZahlenWenn eine Zahl mit mehreren Ziffern vorliegt, kannst Du die Summe dieser Ziffern bilden. Wie sieht es aber bei einer Zahl aus, die überhaupt nur eine Ziffer besitzt? In diesem Fall ist diese Zahl auch gleichzeitig die Quersumme und es muss keine Summe berechnet werden. Bei einziffrigen Zahlen entspricht die Zahl der Quersumme. Dieser Grundsatz gilt für die Zahlen null bis neun. Aufgabe 2 Wie lautet die Quersumme der Zahl 6? Lösung Die Zahl 6 ist eine einziffrige Zahl, das heißt, sie besteht nur aus einer einzigen Ziffer (6). Die Quersumme entspricht dieser Ziffer, deshalb ist die gesuchte Quersumme. Quersumme von negativen ZahlenBisher hast Du nur die Quersumme von positiven Zahlen berechnet. Doch was ändert sich, wenn Du mal eine negative Zahl vor Dir hast? Das ändert an der Berechnung der Quersumme erstmal nicht viel, allerdings ist die Quersumme insgesamt am Ende negativ. Eine negative Zahl besitzt eine negative Quersumme. Geht es um die Quersumme einer negativen Zahl, berechnest Du die Quersumme nach dem bekannten Vorgehen und setzt vor die Summe ein Minuszeichen. Aufgabe 3 Wie lautet die Quersumme der Zahl? Lösung Schritt 1 bleibt unverändert, Du schreibst alle Ziffern mit ein wenig Abstand nebeneinander auf. Das negative Vorzeichen bleibt (ebenfalls mit Abstand) vor der Zahl stehen. Auch im zweiten Schritt ist das Vorgehen gleich. Du schreibst die Pluszeichen zwischen die Ziffern und setzt diesmal aber die gesamte Summe in eine Klammer. Alternierende Quersumme bestimmenNeben der bereits bekannten Quersumme gibt es auch noch die alternierende Quersumme. Die alternierende Quersumme bezeichnet das Ergebnis der abwechselnden Subtraktion und Addition der einzelnen Ziffern von der kleinsten (Einer-) Stelle bis zur höchsten Stelle. Auch hierbei kannst Du in zwei Schritten vorgehen, die sich allerdings von den obigen unterscheiden. Für die Zahlergibt sich also eine zweite alternierende Quersumme. Schritt 1: Bei der alternierenden Quersumme nimmst Du einen alternativen Weg, und schreibst die Ziffern der Zahl in umgekehrter Reihenfolge mit Abstand auf. Das heißt, die Einer-Stelle (4) kommt ganz vorne hin, die höchste Stelle der Zahl (hier: Hunderter) steht am Ende. Schritt 2: Die alternierende Quersumme ist in diesem Sinne auch keine Summe mehr, da die Zahlen jetzt abwechselnd subtrahiert und addiert werden. Das bedeutet, Du setzt zunächst ein Minuszeichen ein, dann ein Pluszeichen, dann wieder Minus, dann wieder Plus und so weiter. Das Ergebnis dieser Rechnung ergibt die alternierende Quersumme. Dieses Vorgehen lässt sich jetzt ebenfalls auf jede andere Zahl anwenden. Aufgabe 4 Bilde die alternierende Quersumme der Zahl. Lösung 1. Schritt: Du nimmst den alternativen Weg und schreibst die Ziffern mit ein wenig Abstand in umgekehrter Reihenfolge auf. 2. Schritt: Nun setzt Du abwechselnd Minus- und Pluszeichen ein und berechnest den Wert der alternierenden Quersumme. Die alternierende Quersumme dieser Zahl ist also. Du siehst also, dass bei der alternierenden Quersumme auch negative Zahlen herauskommen können. Hier ist das gesamte Spektrum der ganzen Zahlen als Lösungsmenge möglich. Anwendung der Quersumme – Regeln der TeilbarkeitWie man die Quersumme einer Zahl berechnet, ist nun klar. Doch auch die Verwendung der Quersumme ist wichtig und kann Dir das Leben beim Dividieren und Rechnen mit Brüchen vereinfachen. Die Quersumme ist ein wichtiger Teil einiger Teilbarkeitsregeln. Die Teilbarkeitsregeln geben Dir einige Hilfestellungen, um die Teiler einer größeren Zahl zu finden. In der folgenden Tabelle sind die grundlegenden Regeln aufgelistet. TeilbarkeitRegelBeispieldurch 2wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6,8 ist.224 ist eine gerade Zahl. Also ist 224 durch 2 teilbar.durch 3wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Die Quersumme von 63 ist 9. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist 63 durch 3 teilbar.durch 4wenn ihre letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind.Die letzten zwei Ziffern von 2216 sind durch 4 teilbar. Also ist 2216 auch durch 4 teilbar.durch 5wenn die letzte Zahl eine 5 oder 0 ist.Die letzte Ziffer von 235 ist eine 5. Also ist 235 durch 5 teilbar.durch 6wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Die Quersumme von 246 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer ist gerade. Also ist 246 durch 6 teilbar.durch 7Hierfür gibt es keine allgemeine Regel. Meist ist es einfacher, die Zahl direkt zu dividieren.durch 8wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind.Die letzten drei Ziffern von 32024 sind 024. 24 ist durch 8 teilbar. Also ist 32024 durch 8 teilbar.durch 9wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.Die Quersumme von 2439 ist 18. 18 ist durch 9 teilbar. Also ist 2439 auch durch 9 teilbar.durch 10wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.Die letzte Ziffer von 210 ist eine 0. Also ist 210 durch 10 teilbar.Für die markierten Teilbarkeitsregeln zu den Zahlen 3, 6 und 9 ist die Quersumme von Bedeutung. Diese werden im Folgenden genauer beschrieben. Teilbarkeitsregel von 3Mithilfe der Quersumme einer Zahl kannst Du herausfinden, ob sie durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Das Vorgehen, um 3 als Teiler einer Zahl zu finden, ist also Folgendes:
Bleibt dabei ein Rest, ist auch die Zahl nicht ohne Rest durch 3 teilbar. Geht die Rechnung auf, kannst Du die Zahl durch 3 teilen. Aufgabe 5 Finde heraus, ob die Zahldurch 3 teilbar ist. Lösung Auf den ersten Blick kannst Du schon mal nicht erkennen, durch welche Zahlenteilbar ist. Deshalb setzt Du auf die Teilbarkeitsregeln. 1. Schritt: Quersumme bilden. 2. Schritt: Die Quersumme durch 3 teilen. ✔ Die Rechnung geht ohne Rest auf. Das bedeutet, die Zahlist durch 3 teilbar. Teilbarkeitsregel von 6Bei der 6 als Teiler einer Zahl, musst Du mehrere Dinge beachten. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Diese Punkte solltest Du dabei prüfen:
Aufgabe 6 Ist die Zahldurch 6 teilbar? Lösung Auch diese Zahl kann nicht auf den ersten Blick als Vielfaches von 6 identifiziert werden. Wende deshalb die Teilbarkeitsregel an. 1. Schritt: Sieh Dir die letzte Ziffer genauer an, hier eine 8. Die 8 ist eine gerade Zahl, damit ist der erste Teil der Regel erfüllt. 2. Schritt: Bilde die Quersumme und teile diese dann durch 3. Geht das auf, ist die Zahl durch 6 teilbar. ✔ Auch der zweite Teil ist erfüllt und 528 ist somit durch 6 teilbar! Teilbarkeitsregel von 9Bei der Teilbarkeit durch 9 kannst Du Dich wieder voll auf die Quersumme verlassen. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Das Vorgehen ist demnach ähnlich wie bei der Teilbarkeit durch 3:
Aufgabe 7 Gib an, obein Vielfaches der Zahl 9 ist. Lösung Schritt 1: Quersumme bilden. Schritt 2: Quersumme durch 9 teilen. ✔ Die Bedingung ist erfüllt, 2079 ist also ein Vielfaches der Zahl 9. Teilbarkeitsregel von 11Zur Untersuchung der Teilbarkeit einer Zahl durch 11 hilft Dir die alternierende Quersumme. Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Beginne also direkt mit diesen Schritten:
Aufgabe 8 Bestimme mithilfe der Teilbarkeitsregel, ob die Zahldurch 11 teilbar ist. Lösung Um diese Aufgabe lösen zu können, benötigst Du die alternierende Quersumme. Zur Erinnerung: Bei der alternierenden Quersumme werden die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben und dann abwechselnd subtrahiert und addiert. Genaueres kannst Du dazu oben nachlesen. Schritt 1: Alternierende Quersumme bilden. Schritt 2: Das Ergebnis dieser Rechnung durch 11 teilen. Diese Rechnung geht auf, das heißt, die Zahl ist durch 11 teilbar. Quersumme berechnen – ÜbungsaufgabenJetzt bist Du dran! Anhand der folgenden Aufgaben kannst Du den Stoff einüben. Aufgabe 9 Berechne die Quersumme der Zahl... a) b) c) d) Lösung Zu a) Schritt 1: Schreibe die Zahlen mit ein wenig Abstand nebeneinander auf. Schritt 2: Füge Pluszeichen zwischen den Zahlen ein und berechne die Summe. Die Quersumme der Zahl 937 ist 19. Zu b) Schreibe die Zahlen mit Abstand auf, füge die Pluszeichen hinzu und addiere die Ziffern. Die Quersumme der Zahl 1433 ergibt einen Wert von 11. Zu c) Zahlen aufschreiben, Pluszeichen einfügen, berechnen. Die Zahl 12 ist die Quersumme der Ziffer. Zu d) Hier ist die Zahl negativ. Das heißt, Du schreibst die Zahlen mit Abstand auf und lässt das Minuszeichen vor der Zahl stehen. Dann fügst Du Pluszeichen zwischen die Ziffern ein und setzt die Summe in Klammern. Die Quersumme der Zahl -2100 ist -3. Quersumme – Das Wichtigste
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Wie heißt die Zahl mit der kleinsten Quersumme
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