Wie nennt man die Steigung noch?

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Steigung einer linearen Funktion berechnet.

• Einordnung
• Steigung berechnen
  • Graph gegeben
  • Zwei Punkte gegeben
  • Steigungswinkel gegeben

Einordnung 

Die Steigung einer linearen Funktion lässt sich aus der Funktionsgleichung ablesen: In $y = mx + n$ steht $m$ für die Steigung.

Beispiel 1 

Die Funktion

$$ y = {\color{red}2}x + 1 $$

hat die Steigung $m = {\color{red}2}$.

Im Folgenden besprechen wir einige Aufgabenstellungen, in denen die Steigung gesucht, die Funktionsgleichung aber nicht gegeben ist.

Steigung berechnen 

Graph gegeben 

zu 2)

Hauptkapitel: Steigungsformel

Beispiel 2 

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.

Gesucht ist die Steigung.

Wir lesen zwei beliebige Punkte ab

$$ P_0({\color{maroon}0}|{\color{red}1}) \text{ und } P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}3}) $$

und setzen sie in die Steigungsformel ein

$$ \begin{align*} m &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \frac{{\color{red}3} - ({\color{red}1})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}0}}\\[5px] &= \frac{2}{4} \\[5px] &= \frac{1}{2} \end{align*} $$

zu 1)

Hauptkapitel: Steigungsdreieck

Beispiel 3 

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.

Gesucht ist die Steigung.

Um die Steigung graphisch zu ermitteln, brauchen wir ein sog. Steigungsdreieck.

Dazu suchen wir uns einen beliebigen Punkt auf der Gerade und gehen von diesem $1$ Längeneinheit nach rechts (also in $x$-Richtung)…

…von diesem Punkt gehen wir solange nach oben (also in $y$-Richtung), bis wir wieder die Gerade getroffen haben.

Wir können ablesen, dass wir $2$ Längeneinheiten nach oben gehen müssen, bis der Graph der linearen Funktion erreicht ist.

Für die Steigung gilt

$$ m = \frac{y}{x} = \frac{2}{1} = 2 $$

Alternativ können wir auch mehr oder weniger Längeneinheiten in $x$-Richtung gehen:

Wenn wir z. B. $2$ Längeneinheiten in $x$-Richtung gehen, dann müssen wir $4$ Längeneinheiten in $y$-Richtung gehen, bis wir den Graphen erreichen.

An dem Wert der Steigung ändert sich dadurch natürlich nichts

$$ m = \frac{y}{x} = \frac{4}{2} = 2 $$

TIPP

Es empfiehlt sich, stets eine Längeneinheit in $\boldsymbol{x}$-Richtung zu gehen, da sich dadurch die Berechnung der Steigung erheblich vereinfacht. Sie entspricht dann nämlich dem Wert, den man in $y$-Richtung abliest.

Für $x = 1$ gilt:

$$ m = \frac{y}{x} = \frac{y}{1} = y $$

Zwei Punkte gegeben 

zu 1)

Hauptkapitel: Steigungsformel

Beispiel 4 

Gegeben sind zwei Punkte $P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})$ und $P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})$.

Wie groß ist die Steigung der Gerade, die durch diese beiden Punkte verläuft?

Formel aufschreiben

$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{m} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{m} &= \frac{9}{2} \\[5px] &= 4{,}5 \end{align*} $$

Steigungswinkel gegeben 

zu 1)

Hauptkapitel: Steigungswinkel

Beispiel 5 

Berechne die Steigung einer Gerade, die mit der $x$-Achse einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

Formel aufschreiben

$$ m = \tan(\alpha) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{m} = \tan(60^\circ) $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{m} \sqrt{3} $$