(5a) Demokratie, Humanität, Solidarität, Friede und Gerechtigkeit sowie Offenheit und Toleranz gegenüber den Menschen sind Grundwerte der Schule, auf deren Grundlage sie der gesamten Bevölkerung, unabhängig von Herkunft, sozialer Lage und finanziellem Hintergrund, unter steter Sicherung und Weiterentwicklung bestmöglicher Qualität ein höchstmögliches Bildungsniveau sichert. Im partnerschaftlichen Zusammenwirken von Schülern, Eltern und Lehrern ist Kindern und Jugendlichen die bestmögliche geistige, seelische und körperliche Entwicklung zu ermöglichen, damit sie zu gesunden, selbstbewussten, glücklichen, leistungsorientierten, pflichttreuen, musischen und kreativen Menschen werden, die befähigt sind, an den sozialen, religiösen und moralischen Werten orientiert Verantwortung für sich selbst, Mitmenschen, Umwelt und nachfolgende Generationen zu übernehmen. Jeder Jugendliche soll seiner Entwicklung und seinem Bildungsweg entsprechend zu selbständigem Urteil und sozialem Verständnis geführt werden, dem politischen, religiösen und weltanschaulichen Denken anderer aufgeschlossen sein sowie befähigt werden, am Kultur- und Wirtschaftsleben Österreichs, Europas und der Welt teilzunehmen und in Freiheits- und Friedensliebe an den gemeinsamen Aufgaben der Menschheit mitzuwirken. Show
die relative Häufigkeit, mit der das Ereignis A eingetreten ist. Die relative Häufigkeit wird nicht bei jeder Reihe von n Versuchsdurchführungen gleich sein. Wenn aber n sehr groß ist, so wird sich jedes Mal ungefähr die gleiche relative Häufigkeit ergeben, und wenn wir gedanklich in einem Grenzprozess n über jede Schranke wachsen lassen, so sollte die relative Häufigkeit einen fixen, nur vom Zufallsexperiment und dem betrachteten Ereignis A abhängigen Wert annehmen. Diesen Wert nennen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Bemerkung: Sie können die Gesetzmäßigkeit, auf die sich diese Argumentation gründet, durch eifriges Würfeln selbst nachvollziehen. Um es einfacher zu machen, haben wir das Würfeln einem Zufallsgenerator übertragen und für drei Werte von n die Anzahl des Auftretens von Augenzahl 6 in diesen n Versuchsdurchführungen und die dazugehörige relative Häufigkeit ermittelt. Dabei wurde jeder dieser n Versuche 5 mal durchgeführt:Damit können wir eine Definition der Wahrscheinlichkeit formulieren:
Da wir n in der Wirklichkeit nicht "gegen unendlich streben" lassen können, handelt es sich hier, wie beim Begriff des Zufallsexperiments (siehe oben) um eine mathematische Idealisierung. Diese Definition passt mit den beiden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die wir bereits oben besprochen haben, zusammen:
Grenzprozesse Zum Seitenanfang Die einfachsten Zufallsexperimente sind dadurch gekennzeichnet, dass jeder Versuchsausgang gleich wahrscheinlich ist. Wir nennen sie Laplace-Experimente. Ein typisches Beispiel ist der (ideale) Würfel. Selbst wenn wir die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Augenzahlen nicht kennen, sorgt seine perfekte (ideale) Form dafür, dass sie alle gleich groß sind. Diese Information reicht aber aus, sie konkret zu berechnen: Wird n mal gewürfelt, so sagen wir für sehr großes n und aufgrund der Gleichberechtigung der Augenzahlen voraus, dass jede gegebene Augenzahl n/6 mal eintreten wird. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist mit (3) dann (n/6)/n = 1/6.Nun erinnern wir uns daran, dass Ereignisse auch komplexer sein können: Sie sind Zusammenfassungen von Versuchsausgängen. So ist für den (idealen) Würfel auch "Die Augenzahl ist gerade" ein Ereignis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten? Dazu überlegen wir: Unter den 6 möglichen Augenzahlen (den so genannten möglichen Fällen) sind 3 geradzahlig (nämlich 2, 4 und 6). Das sind die so genannten günstigen Fälle. Jeder einzelne günstige Fall (und auch jeder einzelne ungünstige Fall) tritt bei n-maligem Würfeln für sehr großes n gleich oft ein, nämlich n/6 mal, d.h. sein relativer Anteil ist 1/6. Jetzt müssen wir nun noch zählen: Der relative Anteil der günstigen Fälle (gerade Augenzahl) ist dreimal so groß wie der relative Anteil jeder einzelnen Augenzahl, also 3/6 = 1/2. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu würfeln, gleich 1/2.Hinter diesem Argument steckt eine Regel, die für beliebige Laplace-Experimente anwendbar ist und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf das Abzählen von Fällen reduziert.
gegeben. Beispiel: Um im obigen Beispiel 2 (ein roter und ein blauer Würfel) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Die Summe der Augenzahlen ist gerade" zu berechnen, benötigen wirVergessen Sie nicht, dass die schöne Formel (4) nur für Laplace-Experimente gilt. Nicht jedes Zufallsexperiment ist von diesem Typ. Beispiel: Das obige Beispiel 3 (Urne mit 10 roten , 15 blauen und 5 grünen Kugeln, wobei Kugeln gleicher Farbe nicht unterschieden werden und eine Kugel zufällig herausgegriffen wird) ist kein Laplace-Experiment. Das folgt daraus, dass die Versuchsausgänge rot, blau und grün (für die herausgegriffene Kugel) nicht die gleiche Chance haben, einzutreten. Es lässt sich aber leicht auf ein Laplace-Experiment zurückführen, wenn wir einen kleinen Trick anwenden: Wir nummerieren die Kugeln (heimlich) durch, so dass jede ihre eigene Identität besitzt. Nun wird jede Nummer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen - wir haben aus dem Urnenbeispiel vorübergehend ein Laplace-Experiment gemacht:In ähnlicher Weise lassen sich viele Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Laplace-Experimente zurückführen. Versuchen Sie, die Logik, die diesen Argumentationen zugrunde liegt, und den Anwendungsbereich der Formel (4) möglichst genau zu verstehen!
Nun wollen wir ein paar grundlegende Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten besprechen. Wir gehen von einem Zufallsexperiment und dessen Ereignisraum aus. Wie oben besprochen,
Disjunkte Ereignisse und die Additionsregel
Mengen Aus zwei Ereignissen A und B (d.h. zwei Teilmengen des Ereignisraums E Vereinigungsmenge logisches "oder" Wir nennen nun zwei Ereignisse A und B disjunkt oder einander ausschließend, wenn ihr Durchschnitt leer ist. Beispiele:Disjunkte Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten, d.h. bei jedem Versuchsausgang tritt entweder A oder B (oder keines von beiden) ein. Die Vereinigung A ÈB zweier disjunkter Ereignisse A und B (die so genannte "disjunkte Vereinigung") kann in der Form "Es tritt entweder A oder B ein, aber nicht beide gleichzeitig" beschrieben werden. Für die Wahrscheinlichkeiten disjunkter Ereignisse gilt die Additionsregeldisjunkt
In Worten: Schließen A und B einander aus, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für A und B. Beispiele:Die Additionsregel (5) lässt sich auf mehrere Ereignisse A1, A2, A3,... ausdehnen, sofern sie paarweise disjunkt sind. In diesem Fall gilt für ihre Wahrscheinlichkeiten
Achtung: Natürlich lässt sich auch die Vereinigung beliebiger Ereignisse bilden. Sind sie aber nicht (paarweise) disjunkt, so gilt für sie die Additionsregel (5) bzw. (6) nicht. Gegenwahrscheinlichkeit Ist A ein Ereignis (d.h. eine Teilmenge des Ereignisraums E Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses (die so genannte Gegenwahrscheinlichkeit) ist durch Komplementärmenge logisches "nicht" gegeben. Sie können sich diese Formel auch in der Form p(A) + p(Ø A ) = 1 merken: Die Summe aus der Wahrscheinlichkeit und der Gegenwahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich 1. Beispiel:Die Benutzung von Gegenereignissen ist ein bewährter Trick zur Abkürzung von Berechnungen, den Sie bei konkreten Aufgaben immer erwägen sollten. Normierung der Wahrscheinlichkeiten Wir wenden uns nun den Versuchsausgängen (Elementarereignissen) zu. Da je zwei Versuchsausgänge (aufgefasst als ein-elementige Teilmengen des Ereignisraums E
In Worten: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist gleich 1. Diese Tatsache wird als Normierung der Wahrscheinlichkeiten oder Normierungsbedingung bezeichnet. Sie ist besonders wichtig für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie wir es im nächsten Kapitel tun werden. Beispiel: Für das obige Beispiel 3 (Urne mit Kugeln) wurden bereits die Wahrscheinlichkeiten aller drei Versuchsausgänge berechnet. Nun können wir ihre Normierung überprüfen: 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1.Die Erkenntnis (8) gibt Anlass zu zwei Bemerkungen: Wahrscheinlich- keitsrechnung und Statistik 2
Eine hilfreiche Vorstellung leere Menge Die bisher erziehlten Resultate, insbesondere die Additionsregel (5) bzw. (6) für disjunkte Ereignisse, legen eine besonders hilfreiche Vorstellung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen nahe: Stellen Sie sich vor, jeder Versuchsausgang (d.h. jedes Element des Ereignisraums) hätte ein "Gewicht", so dass der gesamte Ereignisraum das "Gewicht" 1 hat. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, d.h. einer Teilmenge des Ereignisraums, ist dann einfach das "Gewicht" dieser Menge. (Statt an ein "Gewicht" können sie an irgendeine andere Größe denken, wie eine "Fläche" oder einen "Volumensinhalt". Wichtig ist nur, dass die Werte dieser Größe bei der Zusammenfassung mehrerer Elemente addiert werden, und dass die Gesamtsumme 1 ist). Gehen Sie zur Übung die Formeln (5), (6), (7) und (8) unter diesem Gesichtspunkt noch einmal durch! Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse Betrachten wir wieder zwei Ereignisse A und B. Aus ihnen können wir die DurchschnittmengeA Ç B bilden, d.h. die Menge all jener Versuchsausgänge, die in A und in B enthalten sind. Da diese wieder eine Teilmenge des Ereignisraums E ist, ist sie ebenfalls ein Ereignis. Wir können es als "Es treten A und B ein" oder kurz als "A und B" bezeichnen. Eine andere Schreibweise dafür ist A Ù B, wobei das Symbol Ù als "und" ausgesprochen wird. Beachten Sie, dass A Ç B = B Ç A gilt. Der Durchschnitt zweier Ereignissen ist insbesondere dann von Interesse, wenn aufgrund der Definition eines Zufallsexperiments von vornherein klar ist, dass sie statistisch voneinander unabhängig sind, d.h. dass das Eintreten des einen nichts an der Chance, dass das andere eintritt, ändert. Das gilt beispielsweise dann, wenn das Zufallsexperiment aus zwei (oder mehr) unabhängig voneinander durchgeführten Teil-Zufallsexperimenten besteht. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Das obige Beispiel 2 (es wird ein roter und ein blauer Würfel geworfen) besteht aus zwei derartigen Teil-Zufallsexperimenten (roter Würfel und blauer Würfel). Das EreignisFür die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen dieser Art gibt es nun eine einfache Berechnungsformel, die so genannte Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse. Sie gilt generell für Ereignisse A und B, die statistisch voneinander unabhängig sind (daher insbesondere auch, wenn sie ein Verbundereignis definieren) und lautet: Durchschnittsmenge logisches "und"
In Worten: Sind A und B statistisch voneinander unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B. Beispiel: Auf einer Party sind 15 Frauen und 15 Männer. Unter ihnen werden 3 Tombolapreise verlost (so dass jede Person nur einen Preis bekommen kann, und selbstverständlich ist die Aussicht auf einen Gewinn vom Geschlecht unabhängig). Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Frau ist, die einen Preis gewonnen hat?Wir werden weiter unten genauer auf den Begriff der statistischen Unabhängigkeit eingehen und (9) ganz allgemein beweisen. An dieser Stelle erwähnen wir nur, dass sich auch die Umkehrung erweisen wird: Zwei Ereignisse, die (9) erfüllen, sind statistisch voneinander unabhängig, auch wenn sie kein Verbundereignis definieren. Vorläufig wollen wir uns vor allem merken, dass (9) dazu benutzt werden kann, um Wahrscheinlichkeiten von Durchschnittsereignissen zu berechnen, wenn die statistische Unabhängigkeit von A und B (wie im soeben durchgerechneten Beispiel) von vornherein klar ist. für Verbundereignisse Zum Seitenanfang Zufallsexperimente bestehen oft aus mehreren Schritten, die hintereinander ausgeführt werden, wobei jeder Schritt ein eigenes Zufallsexperiment ist, dessen Details vom Ausgang des vorigen Schritts abhängen können. Obwohl für gewisse Typen von Zufallsexperimenten rechnerische Abzählmethoden zur Verfügung stehen (wir werden sie im nächsten Abschnitt besprechen), kann die Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten in solchen Fällen recht schnell unübersichtlich werden. Es gibt aber eine relativ einfache grafische Darstellungsform, die immer dann angewandt werden kann, wenn die Zahl der möglichen (bzw. interessierenden) Versuchsausgänge der Zwischenschritte nicht zu groß ist: die Baumdiagramme. Wir demonstrieren ihr Prinzip anhand zweier Beispiele. In einem Baumdiagram werden die Ausgänge eines Zufallsexperiments als Linien dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dazugeschrieben. Erinnern wir uns an die im obigen Beispiel 3 gegebene Urne mit 10 roten, 15 blauen und 5 grünen Kugeln, wobei Kugeln gleicher Farbe nicht unterschieden werden und eine Kugel zufällig herausgegriffen wird. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen Kugeln der drei vorkommenden Farben gezogen werden, haben wir bereits berechnet:p(rote Kugel) = 1/3 p(blaue Kugel) = 1/2 p(grüne Kugel) = 1/6 Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1. (Wir wissen wegen (8), dass das so sein muss). Dieses Zufallsexperiment wird durch folgendes Diagramm dargestellt: Jeder Versuchsausgang wird als Linie eingezeichnet. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind dazugeschrieben. Die Kugelsymbole am Ende jeder Linie und die Farben der Linien kennzeichnen die einzelnen Versuchsausgänge. (Die Kugelsymbole können natürlich durch entsprechende Beschriftungen ersetzt werden). Die Linien entsprechen disjunkten (einander ausschließenden) Ereignissen. Das Diagramm ist vollständig in dem Sinn, dass alle möglichen Versuchsausgänge eingezeichnet sind und deren Wahrscheinlichkeiten sich zu 1 addieren. Schon an diesem einfachen Diagramm können Wahrscheinlichkeiten abgelesen werden:
Das Prinzip des Baumdiagramms besteht nun darin, an das Ende jeder Linie, die einem Ausgang der ersten Ziehung entspricht, eine weitere Verzweigung anzuhängen, die die zweite Ziehung (unter den entsprechenden neuen Umständen) darstellt. Das Diagramm, das wir auf diese Weise erhalten, sieht so aus: Für die Möglichkeiten der zweiten Ziehung wurden ebenfalls Wahrscheinlichkeiten eingetragen. Dabei handelt es sich um die für jede Ziehung separat ermittelten Wahrscheinlichkeiten. (Die Berechnung funktioniert genauso wie im Fall der ersten Ziehung, mit Hilfe der Formel (4), nur mit den entsprechend veränderten Zahlen der noch in der Urne verbliebenen Kugeln. Dass die Zahl 29 im Nenner dieser Wahrscheinlichkeiten steht, kommt natürlich daher, dass sich nach der ersten Ziehung nur mehr 29 Kugeln in der Urne befinden). Die Wahrscheinlichkeiten für jedes (einer Ziehung entsprechenden) Unterdiagramm summieren sich zu 1 auf. (Führen Sie zur Übung diese Rechnungen selbst durch!) Die neuen Endpunkte der Linien der zweiten Generation werden mit den Symbolen für die Kugeln, die in der zweiten Ziehung auftreten, gekennzeichnet. (Sie können natürlich auch entsprechend beschriftet werden). Jeder konkrete Ablauf des gesamten Experiments entspricht einem Pfad vom obersten Verzweigungspunkt des Diagramms bis zu einem Endpunkt ganz unten. Wir bezeichnen nun das Ereignis "Es wird eine rote und eine blaue Kugel gezogen (egal in welcher Reihenfolge)" mit A und fragen nach seiner Wahrscheinlichkeit. Dazu beobachten wir, dass es für das Eintreten von A zwei Möglichkeiten gibt: Entweder wird zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen oder umgekehrt. Jede dieser Möglichkeiten entspricht einem Pfad, der aus zwei hintereinander geschalteten Linien besteht, für die jeweils eine Wahrscheinlichkeit angegeben ist. Es lässt sich nun im Sinne von (3) mit relativen Häufigkeiten argumentieren, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines solchen Pfades das Produkt der entlang ihm verzeichneten Wahrscheinlichkeiten ist. (Wir nennen das die Multiplikationsregel für Baumdiagramme). Für die beiden Pfade unseres Beispiels berechnen wir also:
p(A) = 5/29 + 5/29 = 10/29. Soll aus dem Diagramm die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel blau oder grün ist, ermittelt werden, so sind dafür nur die entsprechenden Linien der ersten Ziehung heranzuziehen: Wir addieren die ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten und erhalten 1/2 + 1/6 = 2/3. In diesem Fall bestehen die relevanten Pfade jeweils nur aus einer einzigen Linie. (Hätten wir auch alle nachfolgenden Linien bis zum unteren Ende des Diagramms berücksichtigt, so hätten wir aufgrund der Normierung der Wahrscheinlichkeiten in den nachfolgenden Teildiagrammen nach einer etwas längeren Rechnung dasselbe Resultat erhalten). Damit haben wir die allgemeinen Regeln zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A in einem Baumdiagramm illustriert. Sie lauten:
Versuchen Sie zur Übung, diese Rechnung (und die ihr zugrunde liegenden drei Pfade) nachzuvollziehen! Berechnen Sie in analoger Weise die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel rot oder blau, die zweite gezogene Kugel grün ist! Manche der hier erhaltenen Ergebnisse hätte man auch mit anderen Argumenten (und ein bisschen mehr Theorie) erhalten können. Demgegenüber stellen Baumdiagramme eine Methode der "Buchführung" über die Verzweigungen eines sich in mehreren Schritten vollziehenden Zufallsexperiments dar, bei der nicht allzuviel nachgedacht werden muss, sobald die Struktur einmal feststeht. Sie hilft, die Übersicht über die Kombinationen von Einzelschritten zu behalten und funktioniert natürlich auch für Zufallsexperimente, die sich über mehr als zwei Schritte erstrecken. Ist die Zahl der einzuzeichnenden Linien nicht zu groß, können Sie dieses Verfahren immer anwenden. Zwei Tipps noch zum Abschluss dieses Abschnitts: Manchmal beinhaltet eine Aufgabenstellung Informationen, die in einem Baumdiagramm nicht benötigt werden. Enthält etwa eine Urne Kugeln zehn verschiedener Farben und soll eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden, bei der lediglich rote und blaue Kugeln eine Rolle spielen, so können Sie den Typ "andere Kugel" einführen und so die Zahl der Linien im Diagram klein halten. Weiters ist es nicht immer nötig, alle Unterdiagramme zu zeichnen. Sollen im obigen Beispiel etwa nur Ereignisse betrachtet werden, bei der die erste Ziehung keine grüne Kugel ergibt, so können Sie sich das Zeichnen des dritten Teildiagramms der zweiten Generation sparen. Das auf diese Weise erhaltene "unvollständige Baumdiagramm" stellt dann ein Zufallsexperiment dar, bei dem, sollte zuerst eine grüne Kugel gezogen werden, keine zweite Ziehung mehr stattfindet (siehe den Button rechts). unvollständigesdiagramm Zum Seitenanfang Wir haben im vorigen Abschnitt mit den Baumdiagrammen eine Methode kennen gelernt, die es erlaubt, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, die sich auf Auswahl- und ähnliche Vorgänge beziehen. Manchmal helfen aber auch Baumdiagramme nicht weiter, insbesondere, wenn es zu viele Möglichkeiten gibt, um sie zeichnen zu können. Die gute Nachricht besteht aber darin, dass viele Zufallsexperimente auf Laplace-Experimente (deren Versuchsausgänge alle gleich wahrscheinlich sind) zurückgeführt werden können und sich die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit (4) auf das Abzählen von Möglichkeiten reduziert. Die Kombinatorik ist die Lehre von den Abzählverfahren und liefert einige nützliche Formeln, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung angewandt werden können. Wir wollen ein paar Fälle besprechen und Beispiele angeben, die vorgestellten Formeln aber nicht beweisen. Sie werden in Ihrer Mathematik-Ausbildung manche der nachfolgenden Formeln benötigen, manche vielleicht nicht. Je nach ihrem Lernstoff können Sie diesen Abschnitt beim ersten Lesen überspringen oder sich auf die von Ihnen benötigten Themen beschränken. Greifen Sie einfach bei Bedarf auf ihn zurück!Permutationen Eine Permutation von n Elementen (im zweiten Funktionen-Kapitel als bijektive Funktion beschrieben) ist eine Verteilung der n Elemente auf n Plätze. Es gibt verschiedene Permutationen von n Elementen. Aufgabe: Auf wie viele Arten können sich 5 Personen auf 5 freie (unterscheidbare) Plätze verteilen? Kombinationen ohne Wiederholung Permutationen
Faktorielle Bei den nächsten vier Formeln geht es um Auswahlverfahren. Der besseren Vorstellung halber stellen wir uns vor, einzelnen Elementen eine "Schleife" umzubinden und sie dadurch auszuwählen. In jedem der nun zu besprechenden Fälle kommt es darauf an, ob die Schleifen unterscheidbar sind und ob ein Element mehr als eine Schleife bekommen kann.n (unterscheidbaren) Elementen sollen k Schleifen umgebunden werden. Dabei sind die Schleifen nicht unterscheidbar, und jedes Element darf höchstens eine Schleife bekommen. Es gibt (unterscheidbare) Möglichkeiten, das zu tun. Binomialkoeffizienten Aufgabe: Auf wie viele Arten kann aus einer Gruppe von 20 Menschen ein 3-köpfiges Vertretungsteam (dessen Mitglieder alle die gleichen Kompetenzen haben) gebildet werden? Kombinationen mit Wiederholung n (unterscheidbaren) Elementen sollen k Schleifen umgebunden werden. Dabei sind die Schleifen nicht unterscheidbar, und jedes Element darf mehrere Schleife bekommen. Es gibt (unterscheidbare) Möglichkeiten, das zu tun. Aufgabe: 50 Sportlerinnen nehmen an 7 Bewerben teil (bei denen es jeweils genau eine Siegerin gibt). Auf wie viele Arten können die Preise verteilt werden? Variationen ohne Wiederholung n (unterscheidbaren) Elementen sollen k Schleifen umgebunden werden. Dabei sind die Schleifen unterscheidbar (z.B. nummeriert), und jedes Element darf höchstens eine Schleife bekommen. Es gibt (unterscheidbare) Möglichkeiten, das zu tun. Aufgabe: Auf wie viele Arten kann aus einem 20-köpfigen Verein ein 3-köpfiger Vorstand, bestehend aus VorsitzendeR, SchriftführerIn und KassierIn, gebildet werden? Variationen mit Wiederholung n (unterscheidbaren) Elementen sollen k Schleifen umgebunden werden. Dabei sind die Schleifen unterscheidbar (z.B. nummeriert), und jedes Element darf mehrere Schleife bekommen. Es gibt (unterscheidbare) Möglichkeiten, das zu tun. Aufgabe: Wie viele "Wörter" können zustande kommen, wenn 5 Buchstaben (nacheinander) aus einem Alphabet vom Umfang 26 gewählt werden? Permutationen mit Gruppen nicht unterscheidbarer Elemente Das Problem n Elemente werden in m Gruppen vom Umfang n1, n2,... nm zusammengefasst (n1 + n2 + ... + nm = n). Elemente innerhalb einer Gruppe sind nicht unterscheidbar, Elemente aus verschiedenen Gruppen sind unterscheidbar. Diesen n Elementen sollen n Schleifen umgebunden werden. Dabei sind die Schleifen unterscheidbar (z.B. nummeriert), und jedes Element darf höchstens eine Schleife bekommen. Anders ausgedrückt: Die n Elemente sollen auf n Plätze angeordnet (oder in eine Reihenfolge gebracht) werden. Es gibt (unterscheidbare) Möglichkeiten, das zu tun. Aufgabe: Auf wie viele (unterscheidbare) Arten können 10 weiße, 12 schwarze und 14 rote Kugeln auf 36 Plätze angeordnet werden? (Dabei wird angenommen, dass Kugeln einer Farbe nicht unterschieden werden können). Mit diesen Formeln ausgerüstet, versuchen Sie beim Bearbeiten konkreter Aufgabenstellungen, in denen derartige Auswahl- und Anordnungsprozeduren vorkommen, zuerst herauszufinden, um welchen Typ es sich handelt, was die "Elemente" und was die "Schleifen" sind. Das ist nicht immer leicht, und für manche Probleme gibt es (je nachdem, wie man sie betrachtet) zwei Formeln, die für sie zuständig sind (und natürlich das gleiche Resultat ergeben). Aber wenn Sie es geschafft haben, haben Sie schon gewonnen, denn der Rest besteht nur im Einsetzen von Zahlen in die entsprechende Formel. Um Rechnungen durchzuführen, die Faktorielle und Binomialkoeffizienten enthalten (und bei denen manchmal sehr große Zahlen auftreten) können Sie unser Tool Online-Rechnen mit Mathematica benutzen. Geben Sie dazu beispielsweise 10! oder Binomial[20,2] ein!
In zahlreichen Anwendungsfällen tritt das Problem auf, dass nur solche Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments von Interesse sind, bei denen ein bestimmtes Ereignis B eintritt. Damit tritt eine neue Fragestellung auf: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist?Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten Um sie zu beantworten, betrachten wir jene Teilmenge E Ihre Berechnung kann auf jene Versuchsausgänge, bei denen
Ist p(B) ¹ 0, so kann mit ihrer Hilfe p(A|B) berechnet werden und ist damit auf Größen zurückgeführt, die sich als "gewöhnliche" Wahrscheinlichkeiten im Rahmen des gegebenen Zufallsexperiments ausdrücken lassen. (Ist p(B) = 0 , so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) nicht definiert). Statistische Unabhängigkeit Der Begriff der bedingten Wahscheinlichkeit erlaubt uns, zu entscheiden, ob zwei Ereignisse statistisch voneinander abhängen. Betrachten wir einen Zufallsprozess und zwei Ereignisse A und B. Wir nennen A statistisch (oder stochastisch) von B unabhängig, wenn ist. In Worten ausgedrückt, besagt diese Beziehung: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A ist unabhängig davon, ob alle Versuchsausgänge berücksichtigt werden oder nur jene, bei denen B eintritt. Bemerkung: Unter anderem gilt (17) für die oben im Zusammenhang mit (9) betrachteten Ereignisse von Teil-Zufallsexperimenten, durch die Verbundereignisse ausgedrückt werden.Setzen wir nun voraus, dass A statistisch von B unabhängig ist. Durch Einsetzen von (17) in (16) erhalten wir sofort die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse (9). Gilt umgekehrt (9), so erhalten wir, da p(B) ¹ 0 vorausgesetzt ist, durch Vergleich mit (16) genau (17) zurück. Bemerkungen:
Wir werden nun eine Problematik besprechen, die in praktischen Anwendungen relevant ist. Die angesprochene Thematik ist komplexer als die bisherigen Teile dieses Kapitels und daher etwas schwieriger zu lesen. Je nach ihrem Lernstoff können Sie diesen letzten Abschnitt auslassen (obwohl wir ihn Ihnen sehr ans Herz legen).Über viele Phänomene (vom Wetter über den zukünftigen Gesundheitszustand eines Menschen bis zum Verhalten einzelner Atome) lassen sich nur unsichere Aussagen treffen. Wir greifen dann auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung zurück, um die von der mathematischen Theorie definierten und analysierten Zufallsexperimente als Modelle für reale Vorgänge heranzuziehen. So interessiert uns etwa, wie die Ausbildung medizinischer Symptome oder das Auftreten von Erdbeben durch "zufallsgesteuerte" Prozesse modelliert werden können. Dabei besteht aber ein prinzipielles Problem: Unseren Beobachtungen und Messungen zugänglich sind lediglich die "Versuchsausgänge" und ihre (bisher aufgetretenen) Häufigkeiten, nicht aber die Wahrscheinlichkeiten "an sich". Die ideale Forderung, ein Zufallsexperiment (in identischer Weise) beliebig oft, ja "unendlich oft" durchzuführen, vgl. (3), ist in der Praxis nicht erfüllbar. Daher sind wir oft auf Wahrscheinlichkeitsmodelle angewiesen, deren Eigenschaften wir nur ungenau kennen. Ein typischer Fall von Unsicherheit dieser Art besteht, wenn zwei konkurrierende Modelle gewisse Beobachtungsdaten erklären können und wir wissen möchten, welchem Modell wir den Vorzug geben sollen. Im Folgenden werden wir diese Art von Fragestellung anhand eines einfachen Beispiels diskutieren. Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit wird dabei eine wichtige Rolle spielen. Als "Modelle" dienen zwei Würfel, ein fairer und ein unfairer, und die Beobachtungsdaten werden durch eine einmal gewürfelte Augenzahl dargestellt. Der Satz von Bayes anhand eines Beispiels Stellen wir uns vor, jemand besitzt zwei Würfel:
Anmerkung: Diese Logik passt wunderbar auf Anwendungssituationen, da Ausgänge von Zufallsexperimenten unseren Beobachtungen und Messresultaten entsprechen. Denken Sie etwa bei den zwei Würfeln an Krankheiten, die mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zum gleichen Symptom führen, bei "Augenzahl 6" an das Symptom und bei der Frage, welcher Würfel verwendet wurde, an einen Menschen, der wissen möchte, auf welche der beiden Krankheiten sein Symptom zurückgeht!Natürlich wissen wir nicht mit Sicherheit, welcher Würfel benutzt wurde, denn "Augenzahl 6" ist mit beiden Würfeln möglich. Können wir aber eine begründete Wahrscheinlichkeitsaussage darüber machen? Wir könnten die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(6 Interessanterweise können wir mit dem uns zur Verfügung stehenden Wissen nicht einmal eine Wahrscheinlichkeitsaussage treffen, denn es fehlt uns noch ein Stück Information: die Wahrscheinlichkeiten, aufgrund derer der Würfelbesitzer einen der beiden Würfel ausgewählt hat. Wir nennen sie die Apriori-Wahrscheinlichkeiten. Ganz allgemein werden mit diesem Begriff Wahrscheinlichkeiten bezeichnet, aufgrund derer eines von mehreren Zufallsexperimenten ausgewählt wird. Bezeichnen wir die Apriori-Wahrscheinlichkeiten für die beiden Würfel mit
Zuerst wird - entsprechend der Aproiri-Wahrscheinlichkeiten - einer der beiden Würfeln gewält und danach wird gewürfelt. (Die Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen der Würfel stehen immer links von der entsprechenden Linie). Die Augenzahl 6 kann von beiden Würfeln kommen - diese zwei Möglichkeiten werden durch die beiden hervorgehobenen Pfade dargestellt. Diesen beiden Pfaden können wir nun (nach den oben besprochenen) allgemeinen Regeln ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnen:
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(F Die Summe dieser beiden Größen ist gleich 1 (wie es sein muss und wie sich durch Berechnung von p(6), der Gesamtwahrscheinlichkeit für das Eintreten von "Augenzahl 6", leicht nachrechnen lässt). Wir können uns die Berechnung aber sparen und statt dessen die Normierungsbedingung p(F Sehen wir uns das Ergebnis (19) und seine Konsequenzen nun genauer an:
Eine Anwendung des Satzes von Bayes von Augenzahlen Nachdem wir die Logik des Satzes von Bayes anhand eines einfachen Beispiels ausführlich diskutiert haben, betrachten wir noch eine Anwendung aus der Medizin. Aufgabe:
und die Erkrankungswahrscheinlichkeiten
Wie groß ist unter Zugrundelegung dieser Daten die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch, der Symptom S ausbildet, an A bzw. B erkrankt bzw. gesund ist? Lösung: Bei Auftreten des Symptoms S sind die Wahrscheinlichkeiten, an A bzw. B erkrankt bzw. gesund zu sein, gemäß dem Satz von Bayes (bzw. der entsprechenden Verallgemeinerung von (20) oder (21) auf drei zur Auswahl stehende Zufallsexperimente) durch
gegeben (wobei die Nenner durch die Normierungsbedingung p(A|S) + p(B|S) + p(C|S) = 1 zustande kommen). Unser Patient braucht sich also keine übermäßigen Sorgen zu machen (obwohl eine Abklärung sinnvoll ist, denn von 1000 Patienten, bei denen das Symptom auftritt, werden ungefähr 40 tatsächlich an A erkrankt sein). Bemerkungen:
Damit haben wir unsere Einführung in die Grundsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung beendet. Wir werden in den nächsten Kapiteln, in denen die Statistik eine größere Rolle spielen wird, darauf aufbauen. Wahrsch.rechnung und Statistik 2 | 3 | 4 Wie nennt man das wenn zwei Menschen etwas Gleichzeitig denken?Dies wird oft „Polyfidelity“ genannt, dieser Begriff bezeichnet manchmal jedoch auch Polyamorie im Allgemeinen.
Warum denken zwei Menschen das gleiche?Obwohl zwei Menschen unterschiedliche Gehirne haben, können sie den gleichen Gedanken haben. Die Dynamik neuronaler Aktivität hängt also nur bis zu einem gewissen Grad von der Struktur neuronaler Netzwerke im Gehirn ab.
Was sagt man wenn beide das gleiche sagen?Chipsy tritt auf, wenn zwei Leute dasselbe Wort oder den selben Ausdruck zur selben Zeit sagen. Wenn du und ein Freund zum Beispiel „Wow" oder „Das ist toll!" gleichzeitig sagen, dann seid ihr verhext und müsst "chipsy" sagen.
Wann sagt man das gleiche und dasselbe?Der-, die-, dasselbe besagt, dass etwas identisch ist. Der, die, das Gleiche besagt, dass sich zwei unterschiedliche Dinge aufs Haar gleichen. Dasselbe gibt's also immer nur einmal, während das Gleiche gewissermaßen ein Duplikat, ein Klon ist. Sie fuhren beide das gleiche Auto, hatten aber nicht dasselbe Ziel.
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