2 und 3 ableitung gleich null

Q: Was wenn zweite und dritte Ableitung gleich Null?

Wenn die dritte Ableitung gleich null ist, dann hat man f(x)=0 und somit f(x)=b (oder f(x)=0 aber das würde dann gar nicht funktionieren, weil die erste Ableitung auch 0 sein müste und die Funktion selber auch). Dadurch, dass man f(x)=b hat, müssten dann f(x)=mx+b sein.

Q: Was bedeutet es wenn die 3 Ableitung gleich Null ist?

f(x)=0 für alle Punkte Zum Beispiel für f(x)=2x² wird die dritte Ableitung zu f(x)=0: erhält man als dritte Ableitung f(x)=0, so sagt man, die dritte Ableitung verschwindet. Das heißt dann, dass die dritte Ableitung für alle x-Werte immer Null ergibt.

Q: Was wenn 2 Ableitung gleich Null ist?

Basiswissen. f(x) = 0, also die zweite Ableitung von f(x) ist an einer Stelle null: dort kann der Graph einen Wendepunkt haben (auch Sattelpunkte sind Wendepunkte) oder aber linear verlaufen, also eine Gerade oder konstant sein.

Q: Kann eine Ableitung Null sein?

Ableitung gleich Null ist ( f ′ ( x 0 ) = 0 ), liegt eine waagrechte Tangente vor.

Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Inhaltsverzeichnis Show

Anleitung
Beispiele
Intervallweise differenzierbare Funktion
Stetigkeit einer Funktion
Definition der Ableitung
Erste Ableitung einer Funktion
Zweite Ableitung einer Funktion
Dritte Ableitung einer Funktion
Was wenn zweite und dritte Ableitung gleich Null?
Was bedeutet es wenn die 3 Ableitung gleich Null ist?
Was wenn 2 Ableitung gleich Null ist?
Kann eine Ableitung Null sein?

Satz

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

$$ f''(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f'''(x_0) \neq 0 $$

Anleitung

2. Ableitung berechnen

Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

Gleichung lösen

3. Ableitung berechnen

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

$\boldsymbol{y}$ -Koordinaten der Wendepunkte berechnen

zu 2)

Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die $x$ -Koordinaten der möglichen Wendepunkte.

zu 4)

Ist die 3. Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt.

zu 5)

Ein Punkt besteht im $\mathbb{R}^2$ immer aus zwei Koordinaten, weshalb man bei der Berechnung eines Wendepunktes nicht seine $y$ -Koordinate vergessen darf. Dazu setzen wir die $x$ -Koordinate in $f(x)$ ein.

Beispiele

Beispiel 1

Die Funktion $f(x) = x^3$ ist auf Wendepunkte zu untersuchen.

2. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = 3x^2 $$

$$ f''(x) = 6x $$

Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$\boldsymbol{y}$ 0

Gleichung lösen

$\boldsymbol{y}$ 1

3. Ableitung berechnen

$\boldsymbol{y}$ 2

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.

Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $\boldsymbol{y}$ 4.

Aus diesem Grund liegt an der Stelle $\boldsymbol{y}$ 5 ein Wendepunkt vor.

$\boldsymbol{y}$ -Koordinaten der Wendepunkte berechnen

$\boldsymbol{y}$ 7

$\boldsymbol{y}$ 8 Die Funktion hat bei $\boldsymbol{y}$ 9 einen Wendepunkt.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.

Für $x$ 1 ist die Funktion rechtsgekrümmt. Für $x$ 2 ist die Funktion linksgekrümmt.

Es wird deutlich, dass der Wendepunkt $\mathbb{R}^2$ 2 der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

$f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}$

Funktion ff(x) = Wenn[-0.5 < x < 4, 0.25x² + 2]Funktion gg(x) = Wenn[0 < x < 4.5, 1.25 + x]Funktion hh(x) = Wenn[0 < x < 5, 0.5 (x - 1) + 2.25]Strecke iStrecke i: Strecke [B, C]Strecke jStrecke j: Strecke [B, E]Strecke kStrecke k: Strecke [D, A]Strecke lStrecke l: Strecke [A, F]Strecke mStrecke m: Strecke [C, G]Strecke nStrecke n: Strecke [A, C]Vektor uVektor u: Vektor[H, I]Vektor uVektor u: Vektor[H, I]Vektor vVektor v: Vektor[J, K]Vektor vVektor v: Vektor[J, K]Vektor wVektor w: Vektor[L, M]Vektor wVektor w: Vektor[L, M]x_0 dxtext1 = "x_0 dx"x_0 dxtext1 = "x_0 dx"x_0 dxtext1 = "x_0 dx"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"x_1 = x_0 + \Delta xtext2 = "x_1 = x_0 + \Delta x"f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy"f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy"f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy"f(x_0) dytext6 = "f(x_0) dy"f(x_1)text7 = "f(x_1)"f(x_1)text7 = "f(x_1)"f(x_1)text7 = "f(x_1)"Sekantetext9 = "Sekante"Tangentetext8 = "Tangente"ΔxText2 = "Δx"Δx geht gegen NullText3 = "Δx geht gegen Null"ΔyText1 = "Δy"

Differential

Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.

$\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'$

Intervallweise differenzierbare Funktion

Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.

$f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}$

Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion ist an der Stelle x0 dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.

Aus Stetigkeit folgert nicht automatisch Differenzierbarkeit. Da bei stetigen Funktionen „Knicks“ zugelassen sind, sind nicht alle stetigen Funktionen deshalb automatisch auch durchgängig differenzierbar.
Aus Differenzierbarkeit folgert Stetigkeit (aber nicht umgekehrt!)

Funktion ff(x) = Wenn(-π < x < 3π, sin(0.5x + π / 2) + 2)Strecke gStrecke g: Strecke A, BPunkt BPunkt B: (2, f(2))Punkt BPunkt B: (2, f(2))x_0 stetig, glatttext1 = “x_0 stetig, glatt”x_0 stetig, glatttext1 = “x_0 stetig, glatt”x_0 stetig, glatttext1 = “x_0 stetig, glatt”

Funktion ff(x) = Wenn[0.5 < x < 1, (2x - 2)² + 1]Funktion gg(x) = Wenn[1 < x < 2, ln(3x) - ln(3) + 1]Strecke hStrecke h: Strecke [A, B]Punkt AA = (1, 1)Punkt AA = (1, 1)x_0 stetig, Knicktext1 = "x_0 stetig, Knick"x_0 stetig, Knicktext1 = "x_0 stetig, Knick"x_0 stetig, Knicktext1 = "x_0 stetig, Knick"

Funktion ff(x) = Wenn(1.08 < x < 1.5, 1 - (0.7x - 0.7)²)Funktion hh(x) = Wenn(0.3 < x < 0.92, 1 - (0.7x - 0.7)²)Strecke gStrecke g: Strecke A, BPunkt AA = (1, 1)x_0 nicht stetig, Lücketext2 = “x_0 nicht stetig, Lücke”x_0 nicht stetig, Lücketext2 = “x_0 nicht stetig, Lücke”x_0 nicht stetig, Lücketext2 = “x_0 nicht stetig, Lücke”

Definition der Ableitung

Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x0 ihrer Definitionsmenge Df ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar.

Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.

Funktion ff(x) = abs(16 - x²)

Weierstraß Funktion

Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:

$f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} $

Funktion fFunktion f: Summe[Folge[a^k sin(b^k x), k, 1, 10], 10]Funktion fFunktion f: Summe[Folge[a^k sin(b^k x), k, 1, 10], 10]

Erste Ableitung einer Funktion

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.

$y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha $

Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:

Steigende Tangente: $f'\left( {{x_0}} \right) > 0$ bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x0 steigend. Die Tangente in x0 verläuft von links unten nach rechts oben.
Horizontale Tangente: $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 horizontal. Die Tangente in x0 hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
Fallende Tangente: $f'\left( {{x_0}} \right) < 0$ bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 fallend. Die Tangente in x0 verläuft von links oben nach rechts unten

Zweite Ableitung einer Funktion

Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.

$y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)$

Links gekrümmter Graph, lokales Minimum

Ist $f''\left( {{x_0}} \right) > 0$ so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x0 linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum $f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0$ neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.

Funktion ff(x) = Wenn[0 < x < 10, 0.1x²]Funktion gFunktion g: g(x) = Wenn[1.5 < x < 9, f(3) + 0.6 (x - 3)]Funktion hFunktion h: h(x) = Wenn[3.5 < x < 10, f(7) + 1.4 (x - 7)]Punkt APunkt A: (3, f(3))Punkt APunkt A: (3, f(3))Punkt BPunkt B: (7, f(7))Punkt BPunkt B: (7, f(7))f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmttext3 = "f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmt"f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmttext3 = "f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmt"f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmttext3 = "f '' > 0: Linkskrümmung bzw. positiv bzw. konkav gekrümmt"Tangente_1Text1 = "Tangente_1"Tangente_1Text1 = "Tangente_1"Tangente_2Text2 = "Tangente_2"Tangente_2Text2 = "Tangente_2"

Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum

Ist $f''\left( {{x_0}} \right) < 0$ so ist der Funktionsgraph an der Stelle x0 rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum $f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0$ neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.

Funktion ff(x) = Wenn[0 < x < 10, -1 / 50 (x + 1) (x - 20)]Funktion gFunktion g: g(x) = Wenn[0 < x < 9, f(2) + f'(2) (x - 2)]Funktion hFunktion h: h(x) = Wenn[0 < x < 10, f(7) + f'(7) (x - 7)]Punkt BPunkt B: (7, f(7))Punkt BPunkt B: (7, f(7))Punkt APunkt A: (2, f(2))Punkt APunkt A: (2, f(2))f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmttext3 = "f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmt"f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmttext3 = "f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmt"f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmttext3 = "f '' < 0: Rechtskrümmung bzw. negativ bzw. konvex gekrümmt"Tangente_1Text1 = "Tangente_1"Tangente_1Text1 = "Tangente_1"Tangente_2Text2 = "Tangente_2"Tangente_2Text2 = "Tangente_2"

Dritte Ableitung einer Funktion

Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.

$y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)$

Was wenn zweite und dritte Ableitung gleich Null?

Wenn die dritte Ableitung gleich null ist, dann hat man f'''(x)=0 und somit f''(x)=b (oder f''(x)=0 aber das würde dann gar nicht funktionieren, weil die erste Ableitung auch 0 sein müste und die Funktion selber auch). Dadurch, dass man f''(x)=b hat, müssten dann f'(x)=mx+b sein.

Was bedeutet es wenn die 3 Ableitung gleich Null ist?

f'''(x)=0 für alle Punkte Zum Beispiel für f(x)=2x² wird die dritte Ableitung zu f'''(x)=0: erhält man als dritte Ableitung f'''(x)=0, so sagt man, die dritte Ableitung verschwindet. Das heißt dann, dass die dritte Ableitung für alle x-Werte immer Null ergibt.

Was wenn 2 Ableitung gleich Null ist?

Basiswissen. f''(x) = 0, also die zweite Ableitung von f(x) ist an einer Stelle null: dort kann der Graph einen Wendepunkt haben (auch Sattelpunkte sind Wendepunkte) oder aber linear verlaufen, also eine Gerade oder konstant sein.