Dreieck zwei seiten gleich lang

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Inhaltsverzeichnis Show

Basiswissen
Gleichseitig?
Bezeichnungen
Das allgemeine (beliebige) Dreieck
Definition und Eigenschaften
Das gleichseitige Dreieck
Das gleichschenklige Dreieck
Das rechtwinklige Dreieck
Sind bei einem Dreieck alle Seiten gleich lang?
Wie lang sind die Seiten eines Dreiecks?
Wann ist es ein Spitzwinkliges Dreieck?
Wie berechne ich die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck?

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Ein Dreieck ist ein geschlossener Streckenzug aus drei Strecken. Die drei Strecken sind die Seiten des Dreiecks. Je zwei Seiten haben einen Eckpunkt gemeinsam (Bild 1).
Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit Großbuchstaben (z. B. A, B, C) bezeichnet. Üblicherweise erfolgt die Bezeichnung entgegen dem Uhrzeigersinn (im positiven Drehsinn).
Die Dreieckseiten werden mit Kleinbuchstaben (z. B. a, b, c) entsprechend den gegenüberliegenden Eckpunkten bezeichnet.

Die Winkel im Inneren des Dreiecks werden Innenwinkel genannt und zumeist mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet (z .B.α,β,γ).
Die Nebenwinkel der Innenwinkel sind die Außenwinkel des Dreiecks (Bild 2).

Dreiecke lassen sich nach den Längen der Seiten in unregelmäßige, gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke einteilen (Bild 3).
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Schenkel die beiden gleich langen Seiten. Der gemeinsame Eckpunkt der Schenkel ist die Spitze des Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Grundseite oder Basis. Die beiden der Basis anliegenden, gleich großen Winkel heißen Basiswinkel.
In einem gleichseitigen Dreieck beträgt die Größe jedes Innenwinkel 60°, jedes Außenwinkel 120°.

Einteilung der Dreiecke nach den Seitenlängen

Betrachtet man die Innenwinkel der Dreiecke, so unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke (Bild 4).

Einteilung der Dreiecke nach den Winkelgrößen

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn ein Winkel 90°beträgt (Bild 5). Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten, die Schenkel des rechten Winkels, nennt man Katheten. Die an der Hypotenuse anliegenden Winkel sind komplementär, d. h., die Summe dieser beiden Winkel beträgt 90°.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Geometrie

Basiswissen

Mindestens zwei Seiten sind gleich lang. Es ist auch erlaubt, dass alle drei Seiten gleich lang. Hier stehen einige Eigenschaften solcher gleichschenkligen Dreiecke.

Definition

◦ Mindestens zwei Seiten sind gleich lang.
◦ Es dürfen auch alle drei Seiten gleich lang sein.
◦ Sind alle drei Seiten lang ist das Dreieck auch gleichseitig.

Gleichseitig?

◦ Gleichseitig heißt ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten:
◦ Jedes gleichseitige Dreieck ist immer auch gleichschenklig.
◦ Aber nicht jedes gleichschenklige Dreieck ist auch gleichseitig.
◦ Siehe auch => gleichseitiges Dreieck

Bezeichnungen

◦ Sind zwei Seiten gleich lang, heißt die Dritte Seite => Basis
◦ Die zwei Winkel an der Basis sind immer gleich groß.
◦ Die Winkel an der Basis heißen => Basiswinkel
◦ Siehe auch => Dreiecksbasis

Das allgemeine (beliebige) Dreieck

Definition und Eigenschaften

allgemeines Dreieck

Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z. B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Häufig wird mit a, b und c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC, CA oder AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ liegt am Eckpunkt C

Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite.

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß.
Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.

Das gleichschenklige Dreieck

Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang und daher die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Literatur

Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie, 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3

Sind bei einem Dreieck alle Seiten gleich lang?

Merke. Dreiecke können auch drei gleich lange Seiten besitzen. Man bezeichnet dieses Dreieck dann als gleichseitig. In einem gleichseitigen Dreieck beträgt die Größe jedes Innenwinkels 60°.

Wie lang sind die Seiten eines Dreiecks?

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die längste Seite dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten. Die Verhältnisse der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechen den Winkelfunktionen der Trigonometrie.

Wann ist es ein Spitzwinkliges Dreieck?

Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn jeder Innenwinkel des Dreiecks kleiner als 90 Grad ist. Nebenbei noch ein anderer wichtiger Zusammenhang für die Winkel in Dreiecken: Die Winkelsumme der Innenwinkel eines jeden Dreiecks beträgt 180 Grad.

Wie berechne ich die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck?

So sieht die Formel recht übersichtlich aus und lässt sich als Satz leicht merken: Im gleichseitigen Dreieck ist Höhe gleich halbe Seitenlänge mal Wurzel aus drei.